מראה פרבולית — מוקד ומדריך · מתכונת 35572

1. נציב את הנקודה M(2,4) במשוואה y²=2px: 4² = 2p·2, כלומר 16 = 4p.
2. נבודד: p = 4.
3. משוואת הפרבולה: y² = 2·4·x = 8x.

תשובה: p = 4; משוואת הפרבולה: y² = 8x.

1. לפי נוסחת הפרבולה y²=2px, המוקד נמצא בנקודה F(p/2, 0).
2. נציב p=4: F(4/2, 0) = F(2,0).
3. משוואת המדריך היא x = −p/2 = −4/2 = −2.

תשובה: F(2,0); מדריך: x = −2.

1. נגזור באופן סתום את המשוואה y²=8x לפי x: 2y·y' = 8, ומכאן y' = 4/y.
2. נציב את שיעור ה-y של הנקודה M, כלומר y=4: y'(M) = 4/4 = 1.
3. משוואת המשיק: y − 4 = 1·(x − 2), כלומר y = x + 2.

תשובה: y = x + 2.

1. לפי תכונת המוקד-מדריך, המרחק מ-M למוקד F שווה למרחק מ-M למדריך x=−2.
2. המרחק מ-M(2,4) לישר x=−2 הוא 2−(−2)=4, ולכן גם MF=4 (רדיוס המעגל המבוקש).
3. משוואת מעגל שמרכזו M(2,4) ורדיוסו 4: (x−2)² + (y−4)² = 16.

תשובה: (x − 2)² + (y − 4)² = 16.

1. נרשום את שני המרחקים: המרחק מ-P למוקד F(2,0) הוא √[(x−2)²+y²], והמרחק מ-P למדריך x=−2 הוא |x+2|.
2. נשווה ונעלה בריבוע: (x−2)²+y² = (x+2)².
3. נפתח את שני האגפים: x²−4x+4+y² = x²+4x+4, ולאחר צמצום x² ו-4 משני האגפים מתקבל y² = 8x.
4. זוהי בדיוק משוואת הפרבולה מסעיף א', ומכאן שהפרבולה היא אכן המקום הגאומטרי של כל הנקודות השוות-מרחק מהמוקד ומהמדריך — זו ההגדרה הגאומטרית של פרבולה.

תשובה: y² = 8x — בדיוק משוואת הפרבולה הנתונה.