שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · מאתגרת
פסלת בונה יצירת אמנות מזכוכית בצורת קובייה שקופה ABCD-EFGH, שאורך כל צלע בה 6 ס"מ (בסיס תחתון ABCD, בסיס עליון EFGH, כאשר E מעל A, F מעל B, G מעל C, H מעל D בהתאמה). לצורך העיצוב היא חותכת את הקובייה במישור העובר דרך הצלע AB (השייכת לבסיס התחתון) ודרך הנקודה M — אמצע הצלע האנכית CG. הקובייה ממוקמת במערכת צירים כך ש-A(0,0,0), B(6,0,0), C(6,6,0), D(0,6,0), E(0,0,6), F(6,0,6), G(6,6,6), H(0,6,6).
א.רשמו את קואורדינטות הנקודה M (אמצע הצלע CG), ואת הווקטורים AB ו-AM כווקטורי קואורדינטות.
4 נק׳הציגו פתרון
- C(6,6,0), G(6,6,6), ולכן M = אמצע CG = ((6+6)/2, (6+6)/2, (0+6)/2) = (6,6,3).
- AB = B−A = (6,0,0). AM = M−A = (6,6,3) (מכיוון ש-A ראשית הצירים).
תשובה: M(6,6,3); AB=(6,0,0); AM=(6,6,3).
ב.מצאו את משוואת המישור העובר דרך שלוש הנקודות A, B, M, בעזרת פתרון מערכת משוואות ליניארית (ניצוב המישור מהצורה ax+by+cz=d) — ללא שימוש במכפלה וקטורית.
6 נק׳הציגו פתרון
- נניח משוואת מישור כללית ax+by+cz=d. הצבת A(0,0,0) נותנת d=0.
- הצבת B(6,0,0): 6a=0, ומכאן a=0.
- הצבת M(6,6,3): 6b+3c=0, ומכאן c=−2b. נבחר b=1, ולכן c=−2.
- משוואת המישור: 0·x+1·y−2z=0, כלומר y−2z=0 (או y=2z).
תשובה: משוואת המישור: y−2z=0 (כלומר y=2z).
ג.מצאו את הנקודה N שבה המישור y=2z חותך את הצלע DH, והראו כי N היא אמצע DH. זהו את מלוא צורת החתך (המרובע ABMN), והוכיחו כי הוא מלבן — חשבו את וקטורי ארבע הצלעות והראו שהם מקיימים AB∥MN, BM∥NA, וכי AB⊥BM.
9 נק׳הציגו פתרון
- הצלע DH: D(0,6,0), H(0,6,6), כלומר x=0, y=6, z∈[0,6]. נציב במשוואת המישור: 6−2z=0, ומכאן z=3. הנקודה N=(0,6,3), וזו בדיוק אמצע DH (כי (0+0)/2=0, (6+6)/2=6, (0+6)/2=3).
- וקטורי ארבע הצלעות של המרובע ABMN: AB=B−A=(6,0,0). BM=M−B=(0,6,3). MN=N−M=(−6,0,0). NA=A−N=(0,−6,−3).
- AB=(6,0,0) ו-MN=(−6,0,0) הם וקטורים מקבילים (אותו כיוון עד כדי סימן) ושווים באורכם (6=6) — לכן AB∥MN. באופן דומה BM=(0,6,3) ו-NA=(0,−6,−3) מקבילים ושווים באורך (√45=√45) — לכן BM∥NA. מרובע ששני זוגות צלעותיו הנגדיות מקבילות ושוות הוא מקבילית.
- נבדוק זווית: AB·BM = 6·0+0·6+0·3 = 0, ולכן AB⊥BM. מקבילית עם זווית ישרה אחת (בין שתי צלעות סמוכות) היא בהכרח מלבן. לכן ABMN הוא מלבן.
תשובה: N(0,6,3) — אמצע DH; ABMN הוא מלבן.
ד.חשבו את שטח מלבן החתך ABMN, תוך שימוש באורכי הצלעות AB ו-BM שמצאתם בסעיף ג'.
6 נק׳הציגו פתרון
- |AB| = √(6²+0²+0²) = 6.
- |BM| = √(0²+6²+3²) = √45 = 3√5.
- שטח מלבן = |AB|·|BM| = 6·3√5 = 18√5 סמ"ר.
תשובה: שטח = 18√5 סמ"ר.
ה.מצאו את הזווית שבין מישור החתך ABMN לבין מישור הבסיס ABCD, דרך הצלע המשותפת AB (הנמצאת בשני המישורים) — השתמשו בווקטור BC (בבסיס) ובווקטור BM (במישור החתך), שניהם מאונכים ל-AB ויוצאים מהנקודה B.
8 נק׳הציגו פתרון
- BC = C−B = (0,6,0). נבדוק: BC·AB = 0·6+6·0+0·0 = 0, ולכן BC⊥AB, ו-BC נמצא במישור הבסיס (z=0 לאורך כולו).
- BM = (0,6,3) (מסעיף ג'). נבדוק: BM·AB = 0·6+6·0+3·0 = 0, ולכן BM⊥AB, ו-BM נמצא במישור החתך (מקיים y−2z=6−6=0 לכל אורכו, כפי שנבדק בסעיף ג').
- מכיוון ששני הווקטורים BC ו-BM יוצאים מאותה נקודה B ומאונכים לאותה צלע משותפת AB, הזווית φ ביניהם היא בדיוק הזווית בין שני המישורים.
- cosφ = BC·BM/(|BC|·|BM|) = (0·0+6·6+0·3)/(6·3√5) = 36/(18√5) = 2/√5 = 2√5/5.
- מכיוון ש-(2)²+(1)²=5=(√5)², מתקבל משולש ישר-זווית עם ניצבים 2,1 ויתר √5, ולכן tanφ = 1/2.
תשובה: cosφ=2√5/5 (=2/√5); tanφ=1/2.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.