שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. לפי הגדרת האליפסה, סכום המרחקים הקבוע מכל נקודה על הקיר לשני המוקדים שווה ל-2a. אורך החבל הוא 10 מטרים, ולכן 2a = 10, כלומר a = 5.
2. המרחק בין מרכז האליפסה (ראשית הצירים, אמצע הקטע שבין המוקדים) לכל מוקד הוא c, ולפי מיקום המוקדים F₁(−4,0), F₂(4,0) מתקבל c = 4.
3. לפי הקשר a² = b² + c² (מהנוסחאון), מתקבל b² = a² − c² = 25 − 16 = 9, ומכאן b = 3.
4. משוואת האליפסה: x²/25 + y²/9 = 1.

תשובה: a = 5, b = 3; משוואת האליפסה: x²/25 + y²/9 = 1.

1. קודקודי הציר הראשי (ציר x) הם (±a,0) = (±5,0). קודקודי הציר המשני (ציר y) הם (0,±b) = (0,±3).
2. האקסצנטריות מוגדרת e = c/a, ולכן e = 4/5.

תשובה: קודקודים: (±5,0) ו-(0,±3); e = 4/5.

1. נבדוק שהנקודה מקיימת את משוואת האליפסה: 3²/25 + (12/5)²/9 = 9/25 + (144/25)/9 = 9/25 + 16/25 = 25/25 = 1. ✓ ולכן M נמצאת על האליפסה.
2. נגזור באופן סתום את x²/25 + y²/9 = 1 לפי x: 2x/25 + (2y·y')/9 = 0, ומכאן y' = −9x/(25y).
3. נציב את הנקודה M(3, 12/5): y'(M) = −9·3/(25·12/5) = −27/60 = −9/20.
4. משוואת המשיק: y − 12/5 = −9/20·(x − 3). נכפול ב-20: 20y − 48 = −9x + 27, כלומר 9x + 20y = 75.

תשובה: M על האליפסה; משוואת המשיק: 9x + 20y = 75.

1. MF₁ = המרחק בין M(3,12/5) ל-F₁(−4,0) = √[(3−(−4))² + (12/5)²] = √[49 + 144/25] = √[1225/25 + 144/25] = √(1369/25) = 37/5.
2. MF₂ = המרחק בין M(3,12/5) ל-F₂(4,0) = √[(3−4)² + (12/5)²] = √[1 + 144/25] = √(25/25 + 144/25) = √(169/25) = 13/5.
3. MF₁ + MF₂ = 37/5 + 13/5 = 50/5 = 10, בדיוק כפי שמצופה מהגדרת האליפסה (2a = 10).

תשובה: MF₁ + MF₂ = 37/5 + 13/5 = 10.

1. נסמן P(x,y) נקודה על האליפסה, ולכן y² = 9(1 − x²/25) = 9 − 9x²/25.
2. PF₂² = (x−4)² + y² = x² − 8x + 16 + 9 − 9x²/25. נאחד את איברי ה-x²: x² − 9x²/25 = 16x²/25. לכן PF₂² = 16x²/25 − 8x + 25.
3. נבדוק את הביטוי (5 − 4x/5)²: (5 − 4x/5)² = 25 − 2·5·(4x/5) + (4x/5)² = 25 − 8x + 16x²/25 — בדיוק אותו ביטוי כמו PF₂².
4. מכיוון שעל האליפסה מתקיים x∈[−5,5], הביטוי 4x/5 נמצא בתחום [−4,4], ולכן 5−4x/5 ≥ 1 > 0 תמיד — כלומר הוא חיובי, וניתן להוציא שורש ישירות: PF₂ = √(PF₂²) = |5−4x/5| = 5−4x/5 = 5 − (4/5)x.

תשובה: PF₂ = 5 − (4/5)x לכל נקודה P על האליפסה.