שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. נציב t=10, T=60 בנוסחה: 60 = 20 + 80·e בחזקת (−10k).
2. נבודד: 40 = 80·e בחזקת (−10k), ומכאן e בחזקת (−10k) = ½.
3. נפעיל ln על שני האגפים: −10k = ln(½) = −ln2, ומכאן k = ln2/10.

תשובה: k = ln2/10.

1. e בחזקת (−20k) = (e בחזקת (−10k))² = (½)² = ¼ (לפי חוקי חזקות, מכיוון ש-20k = 2·10k).
2. T(20) = 20 + 80·e בחזקת (−20k) = 20 + 80·¼ = 20+20 = 40 מעלות צלזיוס.

תשובה: T(20) = 40 מעלות.

1. נציב T=25: 25 = 20 + 80·e בחזקת (−kt), ומכאן 5 = 80·e בחזקת (−kt), כלומר e בחזקת (−kt) = 5/80 = 1/16.
2. נפעיל ln: −kt = ln(1/16) = −ln16 = −4ln2, ומכאן kt = 4ln2.
3. נציב k=ln2/10 (מסעיף א') ונבודד t: t = 4ln2 / (ln2/10) = 4ln2 · (10/ln2) = 40 דקות.

תשובה: t = 40 דקות.

1. הפונקציה המעריכית e בחזקת (−kt) חיובית תמיד עבור כל מספר ממשי בחזקה, ולכן 80·e בחזקת (−kt) > 0 לכל t≥0.
2. לכן T(t) = 20 + (מספר חיובי) > 20 לכל t≥0 — הטמפרטורה נשארת תמיד ממש מעל 20 מעלות, ולעולם אינה שווה בדיוק ל-20 בזמן סופי כלשהו.

תשובה: T(t) = 20 + 80e בחזקת (−kt) > 20 לכל t, כי 80e בחזקת (−kt) > 0 תמיד.

1. לפי סעיף ד', T(t)>20 לכל t≥0 ללא יוצא מן הכלל, ולכן בפרט T(50)≠20 — הטכנאי טעה במסקנתו.
2. לחישוב T(50): e בחזקת (−50k) = (e בחזקת (−10k))⁵ = (½)⁵ = 1/32 (לפי חוקי חזקות, כי 50k=5·10k).
3. T(50) = 20 + 80·(1/32) = 20 + 80/32 = 20 + 5/2 = 45/2 = 22.5 מעלות.
4. אכן 22.5 מעלות קרוב מאוד ל-20 (הפרש של 2.5 בלבד), אך אינו שווה לו בדיוק — עקבי לחלוטין עם ההוכחה בסעיף ד' שהטמפרטורה תמיד ממש מעל 20.

תשובה: הטכנאי טעה; T(50) = 22.5 מעלות (=45/2), קרוב ל-20 אך לא שווה לו — בהתאם לסעיף ד'.