softplus — פונקציית הפעלה חלקה · מתכונת 35572

1. הפונקציה המעריכית eˣ חיובית עבור כל x ממשי, כלומר eˣ>0 לכל x.
2. לכן eˣ+1 > 0+1 = 1 > 0 לכל x ממשי, ובפרט הביטוי בתוך ה-ln תמיד חיובי — f מוגדרת לכל x ממשי.

תשובה: תחום ההגדרה: כל הממשיים, כי eˣ+1 > 1 > 0 לכל x.

1. נגזרת ln(u), כאשר u=eˣ+1, u'=eˣ, היא u'/u: f'(x) = eˣ/(eˣ+1).
2. עבור כל x ממשי, eˣ>0 וגם eˣ+1>0 (סעיף א'), ולכן היחס eˣ/(eˣ+1) הוא חיובי חלקי חיובי — כלומר f'(x)>0 לכל x.
3. מכיוון ש-f'(x)>0 לכל x ואינה מתאפסת אף פעם (המונה eˣ אינו מתאפס לעולם), f עולה ממש בכל תחום הגדרתה (כל הישר הממשי), ואין לה אף נקודת קיצון (לא מקסימום ולא מינימום, לא מקומי ולא גלובלי).

תשובה: f'(x) = eˣ/(eˣ+1) > 0 לכל x; f עולה ממש ואין לה נקודות קיצון.

1. כש-x→−∞, eˣ→0⁺ (המעריך שואף ל-0 מלמעלה), ולכן eˣ+1 → 0+1 = 1.
2. לכן f(x) = ln(eˣ+1) → ln(1) = 0. הישר y=0 הוא אסימפטוטה אופקית של גרף f כש-x→−∞.

תשובה: lim(x→−∞) f(x) = 0; אסימפטוטה אופקית y=0 (כאשר x→−∞).

1. f(x) − x = ln(eˣ+1) − x = ln(eˣ+1) − ln(eˣ) = ln[(eˣ+1)/eˣ] = ln(1 + e בחזקת (−x)) (שימוש בחוקי לוגריתמים: הפרש לוגריתמים הוא לוגריתם המנה, ו-x=ln(eˣ)).
2. כש-x→∞, e בחזקת (−x)→0, ולכן 1+e בחזקת (−x) → 1, ומכאן ln(1+e בחזקת (−x)) → ln(1) = 0.
3. לכן lim(x→∞)[f(x)−x] = 0. משמעות הדבר: ככל ש-x גדל, ההפרש האנכי בין גרף f לבין הישר y=x שואף ל-0 — כלומר גרף f מתקרב לישר y=x יותר ויותר (בלי להגיע אליו ממש, כפי שיוצג בסעיף ה') — וזו בדיוק ההגדרה של אסימפטוטה משופעת (בניגוד לאסימפטוטה אופקית, שבה f עצמה שואפת לערך סופי; כאן f שואפת לאינסוף, אך "נצמדת" לישר y=x).

תשובה: lim(x→∞)[f(x)−x] = 0, ולכן הישר y=x הוא אסימפטוטה משופעת של הגרף כש-x→∞.

1. f(x)>0: מסעיף א', eˣ+1>1 לכל x, ולוגריתם (הפונקציה עולה ממש) שומר על אי-השוויון, ולכן ln(eˣ+1) > ln(1) = 0 — כלומר f(x)>0 לכל x ממשי, ולכן הגרף תמיד ממש מעל y=0.
2. f(x)>x: מסעיף ד', f(x)−x = ln(1+e בחזקת (−x)). מכיוון ש-e בחזקת (−x)>0 לכל x ממשי, מתקיים 1+e בחזקת (−x)>1, ולכן (שוב מעליית ה-ln) ln(1+e בחזקת (−x)) > ln(1) = 0 — כלומר f(x)−x>0, כלומר f(x)>x לכל x ממשי, והגרף תמיד ממש מעל הישר y=x.
3. לכן לכל x ממשי מתקיים f(x) > מקסימום{x,0}: הגרף עולה ממש בכל תחומו (סעיף ב'), נמצא תמיד מעל שתי האסימפטוטות y=0 ו-y=x, מתקרב אליהן בהתאמה כש-x→−∞ וכש-x→∞ (סעיפים ג', ד'), אך לעולם אינו נוגע בהן בשום נקודה סופית — זו בדיוק צורת הגרף האופיינית לפונקציית softplus.

תשובה: f(x) > 0 ו-f(x) > x לכל x ממשי — הגרף תמיד ממש מעל שתי האסימפטוטות.