עוצמת אות — ln של ביטוי רציונלי · מתכונת 35572

1. הביטוי בתוך ה-ln חייב להיות חיובי: (x+2)/(x−2) > 0. שבר חיובי כאשר המונה והמכנה בעלי אותו סימן.
2. נקודות האפס של המונה והמכנה: x=−2, x=2. נבדוק סימן בכל תחום: עבור x<−2 — מונה ומכנה שליליים, השבר חיובי. עבור −2<x<2 — מונה חיובי, מכנה שלילי, השבר שלילי. עבור x>2 — מונה ומכנה חיוביים, השבר חיובי.
3. לכן תחום ההגדרה הוא x<−2 או x>2.

תשובה: x<−2 או x>2.

1. תחום ההגדרה x<−2 או x>2 סימטרי ביחס לראשית (אם x בתחום, גם −x בתחום) — תנאי הכרחי לזוגיות/אי-זוגיות.
2. נציב −x: f(−x) = ln[(−x+2)/(−x−2)] = ln[(2−x)/(−x−2)].
3. נוציא גורם (−1) ממונה ומכנה: (2−x)/(−x−2) = [−(x−2)]/[−(x+2)] = (x−2)/(x+2).
4. לכן f(−x) = ln[(x−2)/(x+2)] = ln[((x+2)/(x−2))⁻¹] = −ln[(x+2)/(x−2)] = −f(x). לכן f אי-זוגית.

תשובה: f(−x) = −f(x) לכל x בתחום ההגדרה.

1. כש-x→2⁺ (מתוך התחום): המונה x+2→4, המכנה x−2→0⁺, ולכן היחס→∞ ו-f(x)→∞. אסימפטוטה אנכית: x=2.
2. כש-x→−2⁻ (מתוך התחום): המונה x+2→0⁻, המכנה x−2→−4, ולכן היחס הוא (שלילי קטן)/(שלילי) → 0⁺, ו-f(x)=ln(0⁺)→−∞. אסימפטוטה אנכית: x=−2.
3. נכתוב (x+2)/(x−2) = 1 + 4/(x−2). כש-x→∞ וגם כש-x→−∞, האיבר 4/(x−2)→0, ולכן היחס→1 ו-f(x)=ln(יחס)→ln(1)=0 בשני הכיוונים. אסימפטוטה אופקית: y=0, גם עבור x→∞ וגם עבור x→−∞.

תשובה: אנכיות: x=2 ו-x=−2; אופקית: y=0 (בשני הכיוונים).

1. נסמן u(x) = (x+2)/(x−2), כך ש-f(x)=ln(u), ו-f'(x)=u'/u.
2. לפי כלל המנה: u'(x) = [(x−2)−(x+2)]/(x−2)² = −4/(x−2)².
3. f'(x) = [−4/(x−2)²] ÷ [(x+2)/(x−2)] = [−4/(x−2)²]·[(x−2)/(x+2)] = −4/[(x−2)(x+2)] = −4/(x²−4).
4. בתחום ההגדרה (|x|>2) מתקיים x²−4>0, ולכן המכנה חיובי והמונה −4 שלילי, כלומר f'(x)<0 בכל התחום. לכן f יורדת ממש בקטע x<−2 ובנפרד בקטע x>2.

תשובה: f'(x) = −4/(x²−4) < 0 לכל x בתחום ההגדרה, ולכן f יורדת בשני חלקי התחום.

1. בענף x>2: f יורדת (סעיף ד'), ולפי סעיף ג' f(x)→∞ כש-x→2⁺, ו-f(x)→0 כש-x→∞ (בלי להגיע לאפס בפועל). כלומר בענף זה f מקבלת את כל הערכים בקטע הפתוח (0,∞) — אין ערך מקסימלי (חסום מלמעלה על ידי אינסוף) ואין ערך מינימלי (0 עצמו לא מתקבל).
2. בענף x<−2: f יורדת (סעיף ד'), ולפי סעיף ג' f(x)→0 כש-x→−∞ (בלי להגיע לאפס), ו-f(x)→−∞ כש-x→−2⁻. כלומר בענף זה f מקבלת את כל הערכים בקטע הפתוח (−∞,0).
3. מכיוון שבשני הענפים f בלתי חסומה (שואפת ל-∞ בענף אחד ול-−∞ בענף השני), אין לפונקציה לא מקסימום גלובלי ולא מינימום גלובלי בכל תחום הגדרתה.

תשובה: אין מקסימום גלובלי (f→∞ ליד x=2⁺) ואין מינימום גלובלי (f→−∞ ליד x=−2⁻).