כביש עוקף — ישר ופרבולה · מתכונת 35572

1. נציב y=x+m ב-y²=4x: (x+m)² = 4x.
2. נפתח: x² + 2mx + m² = 4x, ונעביר אגף: x² + (2m−4)x + m² = 0.
3. הדיסקרימיננטה: Δ = (2m−4)² − 4·1·m² = 4m²−16m+16−4m² = −16m+16 = 16(1−m).

תשובה: x² + (2m−4)x + m² = 0; Δ = 16(1−m).

1. משיק פירושו שיש בדיוק פתרון כפול, כלומר Δ=0: 16(1−m)=0, ומכאן m=1.
2. נציב m=1 במשוואה הריבועית מסעיף א': x²+(2−4)x+1 = x²−2x+1 = (x−1)² = 0, ומכאן x=1 (שורש כפול).
3. y = x+m = 1+1 = 2. נקודת ההשקה היא (1,2). (בדיקה: y²=4=4x=4·1 ✓).

תשובה: m = 1; נקודת ההשקה: (1,2).

1. שני מפגשים שונים מתקבלים כאשר למשוואה הריבועית שני שורשים ממשיים שונים, כלומר Δ>0.
2. 16(1−m) > 0 ⟺ 1−m > 0 ⟺ m < 1.

תשובה: m < 1.

1. אין נקודות מפגש (ממשיות) כאשר למשוואה הריבועית אין פתרון ממשי, כלומר Δ<0.
2. 16(1−m) < 0 ⟺ 1−m < 0 ⟺ m > 1.
3. לכן: עבור m<1 שני מפגשים (סעיף ג'), עבור m=1 משיק עם מפגש כפול (סעיף ב'), ועבור m>1 אין מפגש כלל — כיסוי מלא של כל האפשרויות לפי סימן Δ.

תשובה: m > 1.

1. נגזור באופן סתום את y²=4x לפי x: 2y·y' = 4, ומכאן y' = 2/y.
2. נציב את שיעור ה-y של נקודת ההשקה (1,2), כלומר y=2: y'(1,2) = 2/2 = 1.
3. משוואת המשיק: y − 2 = 1·(x − 1), כלומר y = x + 1 — בדיוק הישר y=x+m עם m=1, כפי שנמצא בסעיף ב' בשיטה האלגברית (הדיסקרימיננטה). שתי השיטות — הדיסקרימיננטה והגזירה — מובילות לאותה תוצאה, כמצופה.

תשובה: המשיק בנקודה (1,2) הוא y=x+1 — זהה לישר עם m=1 מסעיף ב'.