אות רדיו — הפונקציה ln x/x² · מתכונת 35572

1. הביטוי ln x מוגדר רק עבור x>0, והמכנה x² שונה מאפס לכל x≠0 — ולכן תחום ההגדרה של f הוא x>0 (בתחום זה x² תמיד חיובי, אינו מאפס את המכנה).
2. f(x)=0 ⟺ ln x=0 (המכנה x² אינו מתאפס בתחום ההגדרה) ⟺ x=1.

תשובה: תחום ההגדרה x>0; f(x)=0 רק ב-x=1.

1. כלל המנה: (u/v)' = (u'v−uv')/v², כאשר u=ln x, u'=1/x, v=x², v'=2x.
2. f'(x) = [(1/x)·x² − ln x·2x] / x⁴ = [x − 2x·ln x] / x⁴.
3. נוציא גורם משותף x מהמונה: f'(x) = x(1−2ln x)/x⁴ = (1−2ln x)/x³.

תשובה: f'(x) = (1−2ln x)/x³.

1. נשווה f'(x)=0: מכיוון ש-x³>0 לכל x>0 (המכנה אינו מתאפס בתחום), יש לפתור 1−2ln x=0, כלומר ln x=1/2, ומכאן x=√e.
2. סימן f'(x) נקבע לפי (1−2ln x) (כי x³>0 תמיד): עבור 0<x<√e, ln x<1/2 ולכן f'(x)>0 (עולה); עבור x>√e, ln x>1/2 ולכן f'(x)<0 (יורדת). הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית — נקודת מקסימום.
3. f(√e) = ln(√e)/(√e)² = (1/2)/e = 1/(2e). נקודת המקסימום היא (√e, 1/(2e)).

תשובה: נקודת מקסימום ב-(√e, 1/(2e)).

1. כש-x→0⁺: ln x→−∞ (מונה שואף למינוס אינסוף), ו-x²→0⁺ (מכנה שואף לאפס מלמעלה) — היחס שואף ל−∞. לכן lim(x→0⁺) f(x) = −∞.
2. כש-x→∞: הלוגריתם ln x גדל לאט בהרבה מכל חזקה חיובית של x (עובדה ידועה על קצבי גדילה), ובפרט לאט בהרבה מ-x², ולכן היחס ln x/x² → 0 (מלמעלה, כי עבור x>1 גם המונה וגם המכנה חיוביים).
3. לפי סעיף ג', f עולה ממש בכל הקטע (0,√e] ויורדת ממש בכל הקטע [√e,∞), ואין לה נקודות קיצון נוספות. בענף השמאלי הערכים חסומים מלמעלה על ידי f(√e)=1/(2e) (עולים לקראתו מ−∞), ובענף הימני הערכים גם הם חסומים מלמעלה על ידי אותו ערך (יורדים ממנו). לכן לא ייתכן ערך כלשהו של f בכל התחום הגדול מ-1/(2e), ומכאן ש-(√e,1/(2e)) היא נקודת מקסימום גלובלית.

תשובה: lim(x→0⁺) f(x) = −∞; lim(x→∞) f(x) = 0; המקסימום ב-(√e,1/(2e)) הוא גלובלי.

1. לפי סעיף ד', f עולה ממש מ−∞ עד 1/(2e) בקטע (0,√e], ויורדת ממש מ-1/(2e) עד 0 (מבלי להגיע לאפס) בקטע [√e,∞) — ולפי סעיף א', f(1)=0 (כאשר 1<√e≈1.6487, כלומר x=1 נמצא בענף העולה).
2. k>1/(2e): גדול מהערך המקסימלי הגלובלי — אין פתרונות כלל.
3. k=1/(2e): מתקבל בדיוק פעם אחת, בנקודת המקסימום עצמה — פתרון יחיד, x=√e.
4. 0<k<1/(2e): הענף העולה (1,√e) עובר בדיוק פעם אחת דרך כל ערך בקטע (0,1/(2e)) (כי f עולה שם מ-0 ל-1/(2e)), והענף היורד (√e,∞) עובר גם הוא בדיוק פעם אחת דרך אותו ערך (כי f יורד שם מ-1/(2e) לכיוון 0) — סה"כ שני פתרונות.
5. k=0: בענף (0,1) f עולה מ−∞ ל-0 (לא כולל 0), ב-x=1 מתקבל בדיוק 0, ובענף (√e,∞) f תמיד חיובי (לעולם אינו מגיע ל-0). לכן פתרון יחיד, x=1.
6. k<0: רק בענף (0,1) הערכים שליליים (f עולה שם ממש מ−∞ עד 0), ולכן לכל k<0 יש שם פתרון יחיד; בשני הענפים האחרים f≥0 תמיד. לכן פתרון יחיד.

תשובה: k>1/(2e): 0 פתרונות; k=1/(2e): פתרון אחד; 0<k<1/(2e): שני פתרונות; k=0: פתרון אחד (x=1); k<0: פתרון אחד.