משיק ל-ln x — שטח מוגבל · מתכונת 35572

1. f(1)=ln1=0, ולכן נקודת ההשקה היא (1,0).
2. f'(x)=1/x, ולכן f'(1)=1 — שיפוע המשיק.
3. משוואת המשיק: y−0=1·(x−1), כלומר y=x−1.

תשובה: y = x−1.

1. f'(x)=1/x, ולכן f''(x)=−1/x².
2. לכל x>0 מתקיים x²>0, ולכן f''(x)=−1/x²<0 לכל x בתחום ההגדרה — גרף y=ln x קעור כלפי מטה בכל תחומו.
3. תכונה כללית של פונקציה קעורה כלפי מטה: הגרף שלה נמצא תמיד מתחת (או על) כל אחד מקווי המשיק שלה, עם שוויון רק בנקודת ההשקה עצמה. בפרט, ביחס למשיק y=x−1 בנקודה x=1 (סעיף א'), מתקיים ln x ≤ x−1 לכל x>0, כאשר שוויון מתקיים רק ב-x=1.

תשובה: f''(x)=−1/x²<0 לכל x>0 — הגרף קעור כלפי מטה בכל תחומו, ולכן ln x ≤ x−1 לכל x>0.

1. מכיוון ש-(x−1)≥ln x בכל התחום (סעיף ב'), השטח הכלוא שווה לאינטגרל המסומן של ההפרש: שטח = ∫₁ᵉ [(x−1)−ln x] dx.
2. פונקציה קדומה: ∫(x−1)dx = x²/2−x, ו-∫ln x dx = x·ln x−x. לכן פונקציה קדומה של ההפרש היא x²/2−x−(x·ln x−x) = x²/2 − x·ln x.
3. נציב את הגבולות: ב-x=e: e²/2 − e·ln e = e²/2 − e (כי ln e=1). ב-x=1: 1/2 − 1·ln1 = 1/2 − 0 = 1/2.
4. שטח = (e²/2−e) − 1/2 = e²/2 − e − 1/2 = (e²−2e−1)/2.

תשובה: שטח = (e²−2e−1)/2 יחידות שטח.

1. לפי המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי, A'(b) = (b−1)−ln b (הנגזרת של אינטגרל לפי הגבול העליון שווה לפונקציה המשולבת המוצבת ב-b).
2. לפי סעיף ב', מתקיים x−1≥ln x לכל x>0, עם שוויון רק ב-x=1. עבור b>1 (b≠1), מתקיים אי-שוויון חזק: b−1>ln b, ולכן A'(b)=(b−1)−ln b>0.
3. מכיוון ש-A'(b)>0 לכל b>1, A(b) פונקציה עולה ממש בתחום זה — השטח הכלוא בין הגרף למשיק גדל ללא הפסקה ככל ש-b גדל.

תשובה: A'(b)=(b−1)−ln b>0 לכל b>1, ולכן A עולה ממש.

1. נשתמש שוב בפונקציה הקדומה x²/2 − x·ln x (סעיף ג'). ב-x=1: 1/2 − 1·ln1 = 1/2.
2. ב-x=½: (½)²/2 − (½)·ln(½) = (1/4)/2 − (½)·(−ln2) = 1/8 + (ln2)/2 (שימוש ב-ln(½)=−ln2).
3. שטח = [1/2] − [1/8+(ln2)/2] = 1/2 − 1/8 − (ln2)/2 = 3/8 − (ln2)/2 = (3−4ln2)/8.

תשובה: שטח = (3−4ln2)/8 יחידות שטח.