שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. BA = A − B = (9−0, 0−0, 0−0) = (9,0,0), ולכן |BA| = √(9²) = 9.
2. BC = C − B = (0−0, 12−0, 0−0) = (0,12,0), ולכן |BC| = √(12²) = 12.
3. BA·BC = 9·0 + 0·12 + 0·0 = 0, ולכן BA⊥BC — הזווית בקודקוד B היא אכן זווית ישרה.

תשובה: BA=(9,0,0), |BA|=9; BC=(0,12,0), |BC|=12; BA·BC=0.

1. מכיוון ש-BA⊥BC (סעיף א'), המשולש ABC ישר-זווית בקודקוד B, ושטחו שווה למחצית מכפלת הניצבים: שטח = ½·|BA|·|BC| = ½·9·12 = 54 מ"ר.
2. הצלע הצדדית AA' מאונכת למישור הבסיס ואורכה 15 מטרים (נתון), ולכן AA' = (0,0,15), |AA'| = 15.
3. נפח מנסרה = שטח הבסיס · גובה = 54·15 = 810 מטרים מעוקבים.

תשובה: שטח הבסיס = 54 מ"ר; AA'=(0,0,15), |AA'|=15; נפח = 810 מ"ק.

1. קואורדינטות הקודקודים העליונים: A'(9,0,15), B'(0,0,15), C'(0,12,15) (כל אחד מהם מעל הקודקוד המתאים בבסיס, בגובה 15).
2. AC' = C' − A = (0−9, 12−0, 15−0) = (−9,12,15).
3. A'C = C − A' = (0−9, 12−0, 0−15) = (−9,12,−15).

תשובה: AC'=(−9,12,15); A'C=(−9,12,−15).

1. נחשב את המכפלה הסקלרית: AC'·A'C = (−9)·(−9) + 12·12 + 15·(−15) = 81 + 144 − 225.
2. 81 + 144 = 225, ולכן AC'·A'C = 225 − 225 = 0.
3. מכיוון שהמכפלה הסקלרית מתאפסת, AC'⊥A'C.

תשובה: AC'·A'C = 0, ולכן AC'⊥A'C.

1. אורך הצלע AC (יתר המשולש בבסיס): AC = √(AB²+BC²) = √(9²+12²) = √(81+144) = √225 = 15 (משפט פיתגורס, כי הזווית ב-B ישרה).
2. הצלע AA' (הצלע הצדדית) אורכה 15 מטרים (נתון), והיא מאונכת ל-AC (כי היא מאונכת לכל מישור הבסיס, ובפרט לישר AC שבתוכו).
3. הפאה ACC'A' היא מקבילית (כי AA'∥CC', שתיהן צלעות צדדיות מקבילות ושוות אורך) עם זווית ישרה בין AA' ל-AC, ולכן היא מלבן; ומכיוון ששתי צלעותיו הסמוכות AC ו-AA' שוות זו לזו (15=15), המלבן הוא בעצם ריבוע.
4. AC' ו-A'C הם בדיוק שני האלכסונים של הריבוע ACC'A' (המחברים קודקודים נגדיים). תכונה גאומטרית ידועה היא שאלכסוני ריבוע (בניגוד למלבן כללי) תמיד מאונכים זה לזה — ולכן ניתן היה לצפות מראש, בלי שום חישוב וקטורי, שהתוצאה של סעיף ד' (AC'⊥A'C) תתקיים.

תשובה: AC = AA' = 15, ולכן ACC'A' ריבוע; באלכסוני ריבוע יש אנכיות תמיד, ולכן מראש ידוע ש-AC'⊥A'C.