שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. נגזור: F'(x) = −(−1)·e⁻ˣ = e⁻ˣ (לפי כלל השרשרת, נגזרת e^u היא u'·e^u, כאשר u=−x, u'=−1).
2. F'(x) = e⁻ˣ = f(x), ולכן F היא אכן פונקציה קדומה של f.

תשובה: F'(x) = e⁻ˣ = f(x). ✓

1. מכיוון ש-f(x)=e⁻ˣ>0 לכל x, האינטגרל המסומן בקטע [0,b] שווה לשטח: S(b) = ∫₀ᵇ e⁻ˣdx = [−e⁻ˣ]₀ᵇ = (−e⁻ᵇ) − (−e⁰) = −e⁻ᵇ + 1.
2. S(b) = 1 − e⁻ᵇ.

תשובה: S(b) = 1 − e⁻ᵇ.

1. נגזור את S(b)=1−e⁻ᵇ לפי b: S'(b) = −(−e⁻ᵇ) = e⁻ᵇ (זהו בעצם המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי: הנגזרת של ∫₀ᵇf(x)dx לפי b שווה ל-f(b)).
2. מכיוון ש-e⁻ᵇ>0 לכל b, מתקיים S'(b)>0 לכל b, ולכן S עולה ממש כפונקציה של b.

תשובה: S'(b)=e⁻ᵇ>0 לכל b, ולכן S עולה.

1. לכל b>0 מתקיים e⁻ᵇ>0 (פונקציית האקספוננט חיובית תמיד).
2. לכן S(b) = 1 − e⁻ᵇ < 1 − 0 = 1, כלומר S(b)<1 לכל b>0.

תשובה: S(b)=1−e⁻ᵇ<1 לכל b>0, כי e⁻ᵇ>0.

1. lim(b→∞) S(b) = lim(b→∞) (1−e⁻ᵇ) = 1 − 0 = 1 (כי e⁻ᵇ→0 כש-b→∞).
2. המשמעות המעשית: אף שכמות האנרגיה הכוללת שנפלטת גדלה עם הזמן (סעיף ג') ולעולם אינה מגיעה ל-1 (סעיף ד'), היא מתקרבת ל-1 יותר ויותר ככל שעובר זמן רב יותר — כלומר קיימת "מכסת אנרגיה" סופית וכוללת (1 יחידות) שהסוללה פולטת לאורך כל חייה (זמן אינסופי), אך היא לעולם אינה מנצלת את המכסה הזו במלואה בזמן סופי.

תשובה: lim(b→∞) S(b) = 1; כמות האנרגיה הכוללת מתקרבת ל-1 אך לעולם אינה מגיעה אליו (בהתאמה מלאה לסעיף ד').