שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. נציב x=ln2 בפונקציה: f(ln2) = (e^(ln2)+a)/(e^(ln2)−1) = (2+a)/(2−1) = 2+a.
2. נשווה לערך הנתון: 2+a = 5, ומכאן a = 3.

תשובה: a = 3.

1. הפונקציה מוגדרת בכל מקום שבו המכנה שונה מאפס: eˣ−1 ≠ 0, כלומר eˣ ≠ 1.
2. מכיוון ש-eˣ=1 בדיוק כאשר x=0, תחום ההגדרה הוא כל הממשיים פרט ל-x=0.

תשובה: x ≠ 0 (כל הממשיים פרט לאפס).

1. אסימפטוטה אנכית: כאשר x→0, המכנה eˣ−1→0 והמונה eˣ+3→4≠0, ולכן |f(x)|→∞. האסימפטוטה האנכית היא x=0.
2. כאשר x→∞: נחלק מונה ומכנה ב-eˣ: f(x) = (1+3e⁻ˣ)/(1−e⁻ˣ). מכיוון ש-e⁻ˣ→0, מתקבל f(x)→1/1=1. אסימפטוטה: y=1.
3. כאשר x→−∞: eˣ→0, ולכן f(x)→(0+3)/(0−1) = 3/(−1) = −3. אסימפטוטה: y=−3.

תשובה: אנכית: x=0; אופקיות: y=1 (עבור x→∞) ו-y=−3 (עבור x→−∞).

1. כלל המנה: f'(x) = [eˣ(eˣ−1) − (eˣ+3)eˣ]/(eˣ−1)² = [e²ˣ−eˣ−e²ˣ−3eˣ]/(eˣ−1)² = −4eˣ/(eˣ−1)².
2. המונה −4eˣ שלילי לכל x (כי eˣ>0 תמיד), והמכנה (eˣ−1)² חיובי לכל x≠0 (ריבוע של מספר שונה מאפס).
3. לכן f'(x)<0 לכל x בתחום ההגדרה, כלומר f יורדת ממש בקטע x<0 ובנפרד בקטע x>0.

תשובה: f'(x) = −4eˣ/(eˣ−1)² < 0 לכל x≠0, ולכן f יורדת בשני חלקי התחום.

1. נבדוק את כיוון ההתקרבות לאסימפטוטה y=1: f(x)−1 = 4/(eˣ−1). עבור x>0, eˣ−1>0, ולכן f(x)−1>0 — כלומר f מתקרבת ל-1 מלמעלה כש-x→∞.
2. נבדוק את כיוון ההתקרבות לאסימפטוטה y=−3: f(x)+3 = 4eˣ/(eˣ−1). עבור x<0, eˣ>0 קטן ו-eˣ−1<0, ולכן f(x)+3<0 — כלומר f מתקרבת ל−3 מלמטה כש-x→−∞.
3. לכן: בענף השמאלי (x<0) f יורדת מ-y מעט מתחת ל−3 (כש-x→−∞) עד y→−∞ (כש-x→0⁻, בהתאם לאסימפטוטה האנכית). בענף הימני (x>0) f יורדת מ-y→+∞ (כש-x→0⁺) עד y מעט מעל 1 (כש-x→∞) — בהתאמה מלאה למונוטוניות היורדת שהוכחה בסעיף ד'.

תשובה: ענף שמאלי (x<0): יורד מ-y→−3⁻ (כש-x→−∞) עד y→−∞ (כש-x→0⁻). ענף ימני (x>0): יורד מ-y→+∞ (כש-x→0⁺) עד y→1⁺ (כש-x→∞).