שאלון 35572פרק א' — אנליטית, וקטורים, טריגו במרחב ומרוכבים33 נקודות · מאתגרת
מהנדס בונה מסגרת תמיכה תלת-ממדית משולשת (כגון תמיכה למגדל תקשורת), שקודקודיה A, B, C נמצאים בשלוש נקודות שרירותיות במרחב. כדי למקם עמוד תמיכה אנכי בנקודת שיווי המשקל האופטימלית של המסגרת, עליו לאתר את הנקודה שבה נפגשים שלושת התיכונים של המשולש (הקטעים המחברים כל קודקוד לאמצע הצלע שמולו) — נקודה זו נקראת מרכז הכובד (הצנטרואיד) של המשולש.
א.יהיו a, b, c וקטורי המקום (ביחס לראשית שרירותית O) של הקודקודים A, B, C בהתאמה. הביעו, באמצעות a, b, c, את וקטור המקום של Ma — אמצע הצלע BC (הצלע שמול הקודקוד A).
5 נק׳הציגו פתרון
- וקטור המקום של אמצע קטע שווה לממוצע וקטורי המקום של שני קצותיו.
- Ma = אמצע BC = (b+c)/2.
תשובה: Ma = (b+c)/2.
ב.הגדירו את הנקודה G על ידי וקטור המקום g=(a+b+c)/3. הוכיחו כי G נמצאת על התיכון AMa, וכי AG=(2/3)·AMa — כלומר ש-G מחלקת את התיכון AMa ביחס 2:1 מהקודקוד A.
8 נק׳הציגו פתרון
- AMa = Ma−a = (b+c)/2 − a.
- AG = g−a = (a+b+c)/3 − a = (a+b+c−3a)/3 = (b+c−2a)/3.
- נבדוק אם AG=(2/3)AMa: (2/3)·[(b+c)/2−a] = (2/3)·(b+c)/2 − (2/3)a = (b+c)/3 − (2/3)a = (b+c−2a)/3.
- זה בדיוק הביטוי שקיבלנו עבור AG, ולכן AG=(2/3)AMa. מכיוון ש-AG הוא כפולה סקלרית חיובית (2/3) של AMa, הנקודה G נמצאת על הקטע AMa (על התיכון עצמו), וכיוון ש-AG=(2/3)AMa, מתקיים GMa=AMa−AG=(1/3)AMa, ולכן AG:GMa=(2/3):(1/3)=2:1.
תשובה: AG=(2/3)AMa, כלומר G על התיכון, ביחס AG:GMa=2:1.
ג.נמקו — ללא צורך לחזור על כל החישוב — מדוע אותו נימוק בדיוק (מסעיף ב', בהחלפת a,b,c במחזור מתאים) מוכיח כי G נמצאת גם על התיכון BMb ביחס BG:GMb=2:1, וגם על התיכון CMc ביחס CG:GMc=2:1 (כאשר Mb אמצע AC ו-Mc אמצע AB). מהי המסקנה לגבי שלושת התיכונים?
7 נק׳הציגו פתרון
- הביטוי g=(a+b+c)/3 סימטרי לחלוטין ביחס להחלפת a,b,c זה בזה (כל שלוש האותיות מופיעות באופן זהה, בחלוקה ב-3).
- ההוכחה בסעיף ב' השתמשה רק בעובדה ש-Ma=(b+c)/2 (אמצע שתי הצלעות האחרות) ו-g=(a+b+c)/3, מבלי לנצל שום תכונה מיוחדת של A דווקא. לכן אם נחליף באופן מחזורי a→b→c→a (כלומר נבחן את הקודקוד B ואת אמצע הצלע שמולו Mb=(a+c)/2), אותו חישוב אלגברי בדיוק (עם אותיות מוחלפות) מוכיח כי BG=(2/3)BMb. ובאופן דומה, עבור הקודקוד C ואמצע הצלע שמולו Mc=(a+b)/2, מתקבל CG=(2/3)CMc.
- מכיוון שהנקודה G יחידה (וקטור המקום שלה g=(a+b+c)/3 קבוע, אינו תלוי באיזה קודקוד בוחרים להתחיל), אותה נקודה G בדיוק נמצאת על שלושת התיכונים AMa, BMb, CMc — ולכן שלושת התיכונים נפגשים (קונקורנטיים) בדיוק בנקודה G, וכל אחד מהם נחצה על ידה ביחס 2:1 מהקודקוד. זוהי הוכחה כללית, התקפה לכל משולש במרחב.
תשובה: מסקנה: שלושת התיכונים נפגשים כולם באותה נקודה G (הם קונקורנטיים).
ד.להמחשה מספרית, נתונים הקודקודים A(2,1,3), B(6,5,−1), C(1,0,4) (וקטורי מקום ביחס לראשית O). מצאו את קואורדינטות G.
5 נק׳הציגו פתרון
- g = (a+b+c)/3 = ((2+6+1)/3, (1+5+0)/3, (3+(−1)+4)/3) = (9/3, 6/3, 6/3) = (3,2,2).
תשובה: G(3,2,2).
ה.אמתו במפורש, עבור המשולש המספרי הזה, כי AG=(2/3)AMa — מצאו את Ma, את הווקטורים AMa ו-AG, וודאו את היחס, ללא הסתמכות על ההוכחה הכללית של סעיף ב'.
8 נק׳הציגו פתרון
- Ma = אמצע BC = ((6+1)/2, (5+0)/2, (−1+4)/2) = (7/2, 5/2, 3/2).
- AMa = Ma−A = (7/2−2, 5/2−1, 3/2−3) = (3/2, 3/2, −3/2).
- AG = G−A = (3−2, 2−1, 2−3) = (1, 1, −1).
- נבדוק: (2/3)·AMa = (2/3)·(3/2, 3/2, −3/2) = (1, 1, −1) — זהה בדיוק ל-AG שחושב ישירות. אימות מלא, בהתאמה גמורה להוכחה הכללית בסעיף ב'.
תשובה: Ma(7/2, 5/2, 3/2); AMa=(3/2, 3/2, −3/2); AG=(1,1,−1); ואכן AG=(2/3)AMa.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.