שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. כלל המכפלה: (uv)'=u'v+uv', כאשר u=x², u'=2x, v=e⁻ˣ, v'=−e⁻ˣ.
2. f'(x) = 2x·e⁻ˣ + x²·(−e⁻ˣ) = e⁻ˣ(2x−x²) = e⁻ˣ·x·(2−x).
3. נשווה ל-0: מכיוון ש-e⁻ˣ>0 תמיד, יש לפתור x(2−x)=0, ומכאן x=0 או x=2.

תשובה: f'(x) = e⁻ˣ·(2x−x²); נקודות קיצון אפשריות: x=0, x=2.

1. סימן f'(x)=e⁻ˣ·x·(2−x) נקבע על ידי סימן x·(2−x) (כי e⁻ˣ>0 תמיד): עבור x<0 — x שלילי, (2−x) חיובי, המכפלה שלילית, f'<0. עבור 0<x<2 — שני הגורמים חיוביים, f'>0. עבור x>2 — x חיובי, (2−x) שלילי, f'<0.
2. ב-x=0 הנגזרת עוברת משלילית לחיובית — נקודת מינימום. f(0)=0²·e⁰=0.
3. ב-x=2 הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית — נקודת מקסימום. f(2)=2²·e⁻²=4/e².

תשובה: x=0 מינימום מקומי, f(0)=0; x=2 מקסימום מקומי, f(2)=4/e².

1. נגזור את f'(x)=e⁻ˣ(2x−x²) בכלל המכפלה: f''(x) = −e⁻ˣ(2x−x²) + e⁻ˣ(2−2x) = e⁻ˣ[−(2x−x²)+(2−2x)] = e⁻ˣ[x²−2x+2−2x] = e⁻ˣ(x²−4x+2).
2. נשווה את הגורם הפולינומי ל-0 (המעריך e⁻ˣ אינו מתאפס לעולם): x²−4x+2=0.
3. לפי נוסחת השורשים: x = [4 ± √(16−8)]/2 = [4 ± √8]/2 = [4 ± 2√2]/2 = 2 ± √2.
4. שני הביטויים 2−√2 ו-2+√2 שונים זה מזה, ובשניהם המקדם הפולינומי (x²−4x+2) מחליף סימן (הפרבולה נפתחת כלפי מעלה), ולכן שתיהן אכן נקודות פיתול.

תשובה: f''(x)=e⁻ˣ(x²−4x+2); נקודות פיתול ב-x=2−√2 ו-x=2+√2.

1. כש-x→∞: הפונקציה המעריכית e⁻ˣ שואפת לאפס מהר יותר מכל חזקה של x גדלה לאינסוף (עובדה ידועה על קצב גדילת פונקציית האקספוננט), ולכן x²·e⁻ˣ→0. אסימפטוטה אופקית: y=0.
2. כש-x→−∞: מתקיים x²→∞, וגם e⁻ˣ=e^|x|→∞ (כי −x→∞), ולכן שני הגורמים שואפים לאינסוף וגם מכפלתם שואפת לאינסוף: f(x)→∞. אין אסימפטוטה אופקית בכיוון זה.

תשובה: lim(x→∞) f(x)=0 (אסימפטוטה אופקית y=0); lim(x→−∞) f(x)=∞ (אין אסימפטוטה).

1. לפי סעיף ד', כש-x→−∞ מתקיים f(x)→∞ — כלומר הפונקציה f בלתי חסומה מלמעלה על פני כל תחום הגדרתה (כל הממשיים).
2. לכן קיימים ערכי x (שליליים מספיק) שעבורם f(x) גדול כרצוננו, ובפרט גדול מ-f(2)=4/e². משמע (2, 4/e²) הוא מקסימום מקומי בלבד (בסביבה קרובה ל-x=2), ולא מקסימום גלובלי.
3. לכן הטענה שגויה: לפונקציה f אין ערך מקסימלי גלובלי כלל, מכיוון שהיא בלתי חסומה מלמעלה.

תשובה: הטענה שגויה — ל-f אין מקסימום גלובלי כלל, כי f(x)→∞ כש-x→−∞.