שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. הביטוי x²+1 מקיים x²+1≥1>0 לכל x ממשי, ולכן ln(x²+1) מוגדר לכל x — תחום ההגדרה הוא כל הממשיים.
2. נציב −x: f(−x) = ln((−x)²+1) = ln(x²+1) = f(x) לכל x, ולכן f זוגית וגרפה סימטרי ביחס לציר ה-y.

תשובה: תחום ההגדרה: כל הממשיים; f זוגית, כי f(−x)=f(x) לכל x.

1. נגזרת ln(u) היא u'/u, כאשר u=x²+1, u'=2x, ולכן f'(x)=2x/(x²+1).
2. נשווה ל-0: 2x=0 (המכנה חיובי תמיד, לא מתאפס), ומכאן x=0.
3. עבור x<0, המונה שלילי והמכנה חיובי, ולכן f'(x)<0 (יורדת); עבור x>0, f'(x)>0 (עולה). לכן x=0 היא נקודת מינימום. f(0)=ln(1)=0, כלומר נקודת המינימום היא (0,0).

תשובה: f'(x)=2x/(x²+1); נקודת מינימום ב-(0,0).

1. נגזור את f'(x)=2x/(x²+1) בעזרת כלל המנה: f''(x) = [2(x²+1)−2x·2x]/(x²+1)² = [2x²+2−4x²]/(x²+1)² = 2(1−x²)/(x²+1)².
2. נשווה למונה: 1−x²=0, ומכאן x=±1 (המכנה תמיד חיובי, אינו משפיע על הסימן).
3. עבור −1<x<1: 1−x²>0, ולכן f''(x)>0 — הגרף קעור כלפי מעלה. עבור x<−1 או x>1: 1−x²<0, ולכן f''(x)<0 — הגרף קעור כלפי מטה.
4. מכיוון שהסימן מתחלף ב-x=±1, אלה נקודות פיתול. f(1)=ln(1+1)=ln2 (וגם f(−1)=ln2, לפי הזוגיות), ולכן נקודות הפיתול הן (1, ln2) ו-(−1, ln2).

תשובה: f''(x)=2(1−x²)/(x²+1)²; נקודות פיתול ב-x=±1; קעירה כלפי מעלה ב-−1<x<1, קעירה כלפי מטה ב-x<−1 או x>1.

1. כש-x→∞, x²+1→∞, ולכן ln(x²+1)→∞. כש-x→−∞, גם אז x²→∞ (ללא תלות בסימן x), ולכן גם כאן ln(x²+1)→∞.
2. מכיוון ש-f(x) שואפת לאינסוף בשני הכיוונים ואינה מתקרבת לערך סופי קבוע, אין לגרף אסימפטוטה אופקית.

תשובה: אין אסימפטוטה אופקית — f(x)→∞ בשני הכיוונים.

1. אכן, בקטע −1<x<1 (הכולל את נקודת המינימום) הגרף קעור כלפי מעלה, כפי שנמצא בסעיף ג'.
2. אולם בסעיף ג' הוכח גם שעבור |x|>1 הקעירות מתהפכת (f''<0, קעירה כלפי מטה), ושתי נקודות הפיתול (±1, ln2) קיימות בדיוק בגלל שינוי זה.
3. לכן טענת התלמיד שגויה: הקעירות כלפי מעלה מתקיימת רק בקטע חלקי מהתחום, ולפונקציה יש שתי נקודות פיתול.

תשובה: לא צדק — הקעירות כלפי מעלה נכונה רק בקטע −1<x<1; מחוץ לו הגרף קעור כלפי מטה, ויש נקודות פיתול ב-x=±1.