שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. בבסיס ABCD (מקבילית עם צלעות סמוכות AB, AD), האלכסון AC שווה לסכום שתי הצלעות היוצאות מ-A: AC = AB+AD = b+d (תכונת חיבור וקטורים במקבילית).
2. הבסיס העליון A'B'C'D' הוא ההעתק המקבילי של הבסיס התחתון על ידי הווקטור a=AA' (כל קודקוד עליון מתקבל מהקודקוד התחתון המתאים בתוספת a). לכן C' מתקבל מ-C בתוספת a, ומכאן AC' = AC + a = a+b+d.

תשובה: AC = b+d; AC' = a+b+d.

1. באופן דומה לסעיף א', B'=B+a (ביחס ל-A: וקטור המקום של B' הוא a+b), ו-D'=D+a (וקטור המקום של D' הוא a+d).
2. BD' = (וקטור המקום של D') − (וקטור המקום של B) = (a+d) − b = a+d−b.

תשובה: B' (מ-A) = a+b; D' (מ-A) = a+d; BD' = a+d−b.

1. וקטור המקום של A הוא 0 (A היא ראשית ההתייחסות), ושל C' הוא a+b+d (סעיף א'). אמצע הקטע AC' הוא (0+(a+b+d))/2 = (a+b+d)/2.
2. וקטור המקום של B הוא b, ושל D' הוא a+d (סעיף ב'). אמצע הקטע BD' הוא (b+(a+d))/2 = (a+b+d)/2.

תשובה: שני אמצעי הקטעים נמצאים באותו וקטור מקום: (a+b+d)/2.

1. בסעיף ג' נמצא כי וקטור המקום של אמצע AC' שווה (a+b+d)/2, וגם וקטור המקום של אמצע BD' שווה (a+b+d)/2 — אותו ביטוי בדיוק, ללא תלות באורכי הצלעות או בזוויות שביניהן.
2. מכיוון ששני האמצעים הם אותה נקודה במרחב, האלכסון AC' והאלכסון BD' נחתכים בדיוק בנקודה זו, וכל אחד מהם נחצה לשני חלקים שווים על ידי נקודת החיתוך. לכן שני האלכסונים חוצים זה את זה — הטענה נכונה עבור כל מקבילון, ללא תלות בצורתו הספציפית.

תשובה: שני האלכסונים חולקים אותה נקודת אמצע (a+b+d)/2, ולכן הם חוצים זה את זה.

1. A=(0,0,0) (ראשית ההתייחסות). C' = a+b+d = (0,0,5)+(4,0,0)+(0,3,0) = (4,3,5). B = b = (4,0,0). D' = a+d = (0,0,5)+(0,3,0) = (0,3,5).
2. אמצע AC': ((0+4)/2, (0+3)/2, (0+5)/2) = (2, 1.5, 2.5).
3. אמצע BD': ((4+0)/2, (0+3)/2, (0+5)/2) = (2, 1.5, 2.5).
4. שתי הנקודות זהות לחלוטין — אימות ישיר, במקרה פרטי, של ההוכחה הכללית בסעיף ד'.

תשובה: A(0,0,0), C'(4,3,5), B(4,0,0), D'(0,3,5); שני האמצעים שווים ל-(2, 1.5, 2.5).