שאלת מתכונת — שאלון 35572

1. משפט דה-מואבר קובע כי לכל מספר טבעי n מתקיים (cosθ+i·sinθ)ⁿ = cos(nθ)+i·sin(nθ).
2. נציב n=3: (cosθ+i·sinθ)³ = cos3θ+i·sin3θ.

תשובה: (cosθ+i·sinθ)³ = cos3θ+i·sin3θ.

1. לפי נוסחת הבינום (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³, עם a=cosθ, b=i·sinθ: (cosθ+isinθ)³ = cos³θ + 3cos²θ·(isinθ) + 3cosθ·(isinθ)² + (isinθ)³.
2. נשתמש ב-i²=−1 וב-i³=−i: 3cosθ·(isinθ)² = 3cosθ·i²sin²θ = −3cosθsin²θ. וגם (isinθ)³ = i³sin³θ = −isin³θ.
3. נציב: (cosθ+isinθ)³ = cos³θ + 3i·cos²θsinθ − 3cosθsin²θ − i·sin³θ.
4. נאסוף איברים ממשיים ומדומים בנפרד: = (cos³θ−3cosθsin²θ) + i·(3cos²θsinθ−sin³θ).

תשובה: (cosθ+i·sinθ)³ = (cos³θ−3cosθ·sin²θ) + i·(3cos²θ·sinθ−sin³θ).

1. השוואת החלקים הממשיים מסעיפים א', ב': cos3θ = cos³θ−3cosθsin²θ. נציב sin²θ=1−cos²θ: cos3θ = cos³θ−3cosθ(1−cos²θ) = cos³θ−3cosθ+3cos³θ = 4cos³θ−3cosθ.
2. השוואת החלקים המדומים: sin3θ = 3cos²θsinθ−sin³θ. נציב cos²θ=1−sin²θ: sin3θ = 3(1−sin²θ)sinθ−sin³θ = 3sinθ−3sin³θ−sin³θ = 3sinθ−4sin³θ.

תשובה: cos3θ=4cos³θ−3cosθ; sin3θ=3sinθ−4sin³θ.

1. cos30°=√3/2, sin30°=1/2.
2. נציב בנוסחת cos3θ: 4(√3/2)³−3(√3/2) = 4·(3√3/8) − 3√3/2 = 3√3/2 − 3√3/2 = 0 — תואם ל-cos90°=0. ✓
3. נציב בנוסחת sin3θ: 3·(1/2)−4·(1/2)³ = 3/2 − 4·(1/8) = 3/2−1/2 = 1 — תואם ל-sin90°=1. ✓

תשובה: שתי הנוסחאות מתאמתות: מתקבל cos90°=0 ו-sin90°=1.

1. לפי הנוסחה מסעיף ג': cos3θ=4cos³θ−3cosθ.
2. נציב cosθ=1/3: cos3θ = 4·(1/3)³ − 3·(1/3) = 4/27 − 1 = 4/27 − 27/27 = −23/27.
3. שימו לב שהחישוב אינו דורש כלל מציאת הזווית θ עצמה — זהו יתרון מרכזי של הנוסחה שהוכחה בסעיף ג'.

תשובה: cos3θ=−23/27.