שאלת מתכונת — שאלון 35471

1. נמצא את נקודות האפס: x²−4=0 נותן x=2 או x=−2.
2. הביטוי x²−4 (פרבולה פותחת כלפי מעלה) אי-שלילי מחוץ לשורשים ושלילי ביניהם: x²−4≥0 עבור x≤−2 או x≥2, ו-x²−4<0 עבור −2<x<2.
3. לכן: כאשר x²−4≥0, מתקיים f(x)=|x²−4|=x²−4. כאשר x²−4<0, מתקיים f(x)=|x²−4|=−(x²−4)=4−x².

תשובה: f(x)=x²−4 עבור x≤−2 או x≥2; f(x)=4−x² עבור −2<x<2.

1. מהחלק x≥2: f(2)=2²−4=0. מהחלק −2<x<2 (בגבול x→2⁻): f(2)=4−2²=0. שתי הגישות נותנות אותה תוצאה, 0, ולכן f רציפה ב-x=2.
2. נגזרת החלק x≥2 היא (x²−4)'=2x, ובנקודה x=2: 2·2=4.
3. נגזרת החלק −2<x<2 היא (4−x²)'=−2x, ובגבול x→2⁻: −2·2=−4.
4. מכיוון ש-4≠−4, הנגזרת מימין שונה מהנגזרת משמאל בנקודה x=2 — יש שם "פינה" בגרף, ולכן f אינה גזירה בנקודה זו (וכנ"ל, מטעמי סימטריה, גם ב-x=−2).

תשובה: f(2)=0 (רציפה); נגזרת מימין=4, נגזרת משמאל=−4 — שונות, ולכן f אינה גזירה ב-x=2.

1. בתחום −2<x<2, f(x)=4−x² היא פרבולה הפוכה עם קודקוד ב-x=0: f(0)=4, וזו נקודת מקסימום מקומי.
2. מכיוון ש-f(x)=|x²−4|≥0 לכל x (ערך מוחלט), והפונקציה מתאפסת בדיוק ב-x=±2 (מסעיף א'), נקודות אלו הן נקודות מינימום — הערך הקטן ביותר האפשרי (0) — למרות שהפונקציה אינה גזירה שם (מסעיף ב').

תשובה: מינימום מקומי (וגם גלובלי) ב-x=−2 וב-x=2 (f=0); מקסימום מקומי ב-x=0 (f=4).

1. בקצה השמאלי (x=−4): f(−4)=(−4)²−4=12. הגרף יורד מ-12 ב-x=−4 ועד 0 ב-x=−2 (החלק החיצוני, x²−4).
2. בתחום −2<x<2 הגרף עולה מ-0 (ב-x=−2) עד 4 (ב-x=0), ואז יורד שוב מ-4 עד 0 (ב-x=2) — הפרבולה ההפוכה 4−x².
3. מ-x=2 והלאה הגרף חוזר לעלות (החלק החיצוני, x²−4), ומגיע ל-f(4)=4²−4=12.
4. בנקודות x=−2 ו-x=2 יש "פינות" חדות (מעברים לא-חלקים בין שני החלקים), בהתאם לחוסר הגזירות שנמצא בסעיף ב'.

תשובה: הגרף יורד מערך גבוה ב-x=−4 עד ל-0 ב-x=−2, עולה עד ל-4 ב-x=0, יורד שוב עד ל-0 ב-x=2, ועולה שוב עד x=4 — עם "פינות" חדות ב-x=±2.

1. נחשב לפי f(x)=4−x²: ∫(4−x²)dx = 4x − x³/3.
2. נציב בגבולות: ב-x=2: 4·2 − 2³/3 = 8 − 8/3 = 16/3. ב-x=−2: 4·(−2) − (−2)³/3 = −8 − (−8/3) = −8+8/3 = −16/3.
3. השטח = 16/3 − (−16/3) = 32/3.
4. מכיוון שהביטוי x²−4 שלילי (או אפס) בכל התחום −2≤x≤2, כלומר אינו מחליף סימן בתוך התחום, מתקיים בו |∫(x²−4)dx| = ∫|x²−4|dx = ∫(4−x²)dx — שתי הדרכים שוות כאן. חשוב לציין שזו תוצאה הנובעת מכך שאין החלפת סימן בתוך התחום; אילו x²−4 היה מחליף סימן בתוך תחום האינטגרציה, לקיחת הערך המוחלט של האינטגרל השלם הייתה נותנת תוצאה שגויה (קטנה מדי) בהשוואה לאינטגרל של הערך המוחלט.

תשובה: השטח = 32/3; כן, שתי הדרכים נותנות כאן את אותה תוצאה.