שאלון 35471פרק א' — סטטיסטיקה והסתברות22 נקודות · ברמת הבחינה
בסקר שנערך בחברת הייטק בקרב 200 עובדים, נבדקו שתי הרגלים: A — "העובד מתאמן באופן קבוע", ו-B — "העובד נוהג לפי תפריט תזונתי מסודר". מהסקר עלה כי 90 עובדים מתאמנים באופן קבוע, 70 עובדים נוהגים לפי תפריט תזונתי, ו-30 עובדים גם מתאמנים וגם נוהגים לפי תפריט (עונים על שני התנאים יחד). בוחרים עובד אחד באקראי מתוך 200 העובדים.
א.חשבו את P(A) — ההסתברות שהעובד הנבחר מתאמן באופן קבוע, ואת P(B) — ההסתברות שהוא נוהג לפי תפריט תזונתי.
4 נק׳הציגו פתרון
- P(A) = מספר העובדים המתאמנים / סך העובדים = 90/200 = 9/20 = 0.45.
- P(B) = 70/200 = 7/20 = 0.35.
תשובה: P(A) = 9/20 = 0.45; P(B) = 7/20 = 0.35.
ב.חשבו את P(A∩B) — ההסתברות שהעובד גם מתאמן וגם נוהג לפי תפריט. השתמשו בנתונים כדי למצוא כמה עובדים מתאמנים בלבד (ולא נוהגים לפי תפריט), וכמה עובדים נוהגים לפי תפריט בלבד (ולא מתאמנים).
4 נק׳הציגו פתרון
- P(A∩B) = 30/200 = 3/20 = 0.15.
- עובדים המתאמנים בלבד (מתאמנים ולא נוהגים לפי תפריט): 90−30=60.
- עובדים הנוהגים לפי תפריט בלבד (ולא מתאמנים): 70−30=40.
תשובה: P(A∩B) = 3/20 = 0.15; מתאמנים בלבד: 60 עובדים; תפריט בלבד: 40 עובדים.
ג.חשבו את P(A∪B) — ההסתברות שהעובד הנבחר מתאמן, נוהג לפי תפריט, או שניהם — לפי נוסחת האיחוד. כמה עובדים (מתוך 200) מקיימים לפחות אחד משני ההרגלים?
5 נק׳הציגו פתרון
- נוסחת האיחוד: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B).
- נציב: P(A∪B) = 0.45 + 0.35 − 0.15 = 0.65.
- מספר העובדים: 0.65×200=130 (אפשר גם לוודא ישירות מסעיף ב': 60+40+30=130).
תשובה: P(A∪B) = 0.65; 130 עובדים.
ד.חשבו את ההסתברות שהעובד הנבחר אינו מתאמן ואינו נוהג לפי תפריט (אינו מקיים אף אחד משני ההרגלים). כמה עובדים כאלה יש בחברה?
5 נק׳הציגו פתרון
- האירוע "לא A וגם לא B" הוא המשלים של האירוע A∪B.
- P(לא A וגם לא B) = 1 − P(A∪B) = 1 − 0.65 = 0.35.
- מספר העובדים: 0.35×200=70 (אפשר לוודא: 200−130=70).
תשובה: 0.35; 70 עובדים.
ה.מנהל משאבי האנוש טוען: "מכיוון שההסתברות ש-A ו-B מתרחשים יחד אינה אפס (P(A∩B)=0.15), ברור שהמאורעות אינם זרים (מוציאים זה את זה) — אך עדיין ייתכן שהם בלתי תלויים." בדקו את הטענה השנייה: חשבו את P(A)·P(B) והשוו אותה ל-P(A∩B). שימו לב ששני הערכים קרובים מאוד זה לזה, ולכן רשמו את שניהם גם כשברים בעלי מכנה משותף — כדי לוודא שההבדל ביניהם אמיתי ואינו תוצאה של עיגול. קבעו האם A ו-B בלתי תלויים.
4 נק׳הציגו פתרון
- הטענה הראשונה נכונה: מאורעות זרים (mutually exclusive) מקיימים P(A∩B)=0, וכאן P(A∩B)=0.15≠0, ולכן A ו-B אכן אינם זרים.
- לבדיקת אי-תלות: P(A)·P(B) = 0.45×0.35 = 0.1575, ואילו P(A∩B) = 0.15.
- שני הערכים קרובים, ולכן נשווה אותם כשברים מדויקים בעלי מכנה משותף: P(A)·P(B) = (9/20)·(7/20) = 63/400, ואילו P(A∩B) = 3/20 = 60/400.
- 63/400 ≠ 60/400 — ההפרש הוא 3/400 בדיוק, ולכן הוא אמיתי ואינו נובע מעיגול. התנאי לאי-תלות, P(A∩B)=P(A)·P(B), אינו מתקיים, ולכן A ו-B אינם בלתי תלויים.
- אפשר לאמת גם בדרך שנייה, בעזרת הסתברות מותנית: מבין 70 העובדים הנוהגים לפי תפריט, 30 גם מתאמנים, ולכן P(A|B) = 30/70 = 3/7. לעומת זאת P(A) = 9/20. מכיוון ש-3/7 ≠ 9/20 (שהרי 3·20=60 ואילו 7·9=63), הידיעה שהעובד נוהג לפי תפריט כן משנה את ההסתברות שהוא מתאמן — כלומר המאורעות תלויים זה בזה.
תשובה: הטענה הראשונה נכונה (המאורעות אינם זרים), אך A ו-B אינם בלתי תלויים: P(A)·P(B) = 63/400 ואילו P(A∩B) = 60/400.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.