שאלון 35471פרק א' — סטטיסטיקה והסתברות22 נקודות · מאתגרת
מועצת התלמידים בבית ספר בוחרת באקראי לחלוטין משלחת בת 4 תלמידים, שתייצג את בית הספר בכנס ארצי, מתוך רשימת מועמדים הכוללת 6 בנים ו-5 בנות (סך הכול 11 מועמדים). כל הרכב אפשרי של 4 מועמדים נבחר בהסתברות שווה.
א.בכמה דרכים אפשר לבחור משלחת של 4 תלמידים מתוך 11 המועמדים (בלי חשיבות לסדר)?
4 נק׳הציגו פתרון
- מספר הדרכים לבחור קבוצה של 4 מתוך 11, ללא חשיבות לסדר, הוא מספר הצירופים C(11,4).
- C(11,4) = (11×10×9×8)/(4×3×2×1) = 7920/24 = 330.
תשובה: 330 דרכים.
ב.בכמה דרכים אפשר לבחור משלחת שכל 4 חבריה הם בנים (אף בת לא נבחרת)? השתמשו בתוצאה כדי לחשב את ההסתברות שהמשלחת כולה מורכבת מבנים.
5 נק׳הציגו פתרון
- מספר הדרכים לבחור 4 בנים מתוך 6 הבנים: C(6,4) = C(6,2) = (6×5)/(2×1) = 15.
- ההסתברות שהמשלחת כולה בנים: P = 15/330 = 1/22 (מחלקים ב-15 את שני האגפים).
תשובה: 15 דרכים; הסתברות 1/22.
ג.חשבו את ההסתברות שבמשלחת תהיה לפחות בת אחת.
4 נק׳הציגו פתרון
- האירוע "לפחות בת אחת" הוא המשלים של האירוע "כל 4 חברי המשלחת בנים" (מסעיף ב').
- P(לפחות בת אחת) = 1 − P(כל 4 בנים) = 1 − 1/22 = 21/22.
תשובה: 21/22
ד.חשבו את ההסתברות שהמשלחת תכלול בדיוק 2 בנים ו-2 בנות.
5 נק׳הציגו פתרון
- מספר הדרכים לבחור 2 בנים מתוך 6: C(6,2)=15. מספר הדרכים לבחור 2 בנות מתוך 5: C(5,2)=10.
- לפי עקרון הכפל, מספר הדרכים לבחור בדיוק 2 בנים ו-2 בנות: 15×10=150.
- ההסתברות: P = 150/330 = 5/11.
תשובה: 5/11
ה.תלמיד טוען: "מכיוון שההסתברות לבדיוק 2 בנים ו-2 בנות (5/11, ההרכב הסביר ביותר מבין כל חמשת ההרכבים האפשריים) קטנה מההסתברות שיש לפחות בת אחת (21/22), יש כאן סתירה — הרי ההרכב הכי סביר לא יכול להיות פחות סביר מאירוע אחר." האם הטענה נכונה? נמקו.
4 נק׳הציגו פתרון
- אין כל סתירה: "לפחות בת אחת" הוא איחוד של כמה הרכבים אפשריים — 1, 2, 3 או 4 בנות (כלומר כל ההרכבים פרט ל"0 בנות") — ואילו "בדיוק 2 בנים ו-2 בנות" הוא רק אחד מתוך ההרכבים האלה.
- מכיוון שהאירוע "לפחות בת אחת" מכיל בתוכו את האירוע "בדיוק 2 ו-2" (וגם הרכבים נוספים), הסתברותו חייבת להיות גדולה או שווה להסתברות של כל אחד מההרכבים הבודדים שבתוכו — זו תכונה בסיסית של הסתברות של איחוד מאורעות, ולא סתירה.
- לכן השוואה בין הסתברות של אירוע מורכב (איחוד) לבין הסתברות של אחד המקרים הבודדים שמרכיבים אותו אינה מעידה על שום פרדוקס. טענת התלמיד שגויה.
תשובה: לא, אין כאן סתירה — הטענה שגויה.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.