שאלון 35471פרק ב' — גאומטרייה אנליטית22 נקודות · קלה יחסית
מגרש דשא מרובע ABCD בקאנטרי קלאב מתוכנן במערכת צירים (ביחידות של מטרים), עם קודקודים A(2,1), B(1,4), C(10,7) ו-D(11,4), לפי סדר זה סביב היקף המגרש.
א.מצאו את אמצע האלכסון AC ואת אמצע האלכסון BD.
4 נק׳הציגו פתרון
- אמצע AC: ((2+10)/2, (1+7)/2) = (12/2, 8/2) = (6,4).
- אמצע BD: ((1+11)/2, (4+4)/2) = (12/2, 8/2) = (6,4).
תשובה: אמצע AC הוא (6,4), אמצע BD הוא (6,4).
ב.ידוע כי מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה (כלומר, בעלי אותה נקודת אמצע) הוא מקבילית. השתמשו בתוצאת סעיף א' כדי לקבוע האם ABCD הוא מקבילית, ונמקו.
4 נק׳הציגו פתרון
- בסעיף א' נמצא ששני האלכסונים AC ו-BD חולקים בדיוק את אותה נקודת אמצע, (6,4).
- מכיוון שהאלכסונים חוצים זה את זה, לפי התכונה הגאומטרית הנתונה, ABCD הוא בהכרח מקבילית.
תשובה: כן, ABCD הוא מקבילית.
ג.אמתו את המסקנה גם בדרך נוספת: מצאו את הווקטור AB ואת הווקטור DC, והראו שהם שווים זה לזה — כלומר שהצלעות AB ו-DC מקבילות ושוות באורכן.
5 נק׳הציגו פתרון
- וקטור AB: B−A = (1−2, 4−1) = (−1,3).
- וקטור DC: C−D = (10−11, 7−4) = (−1,3).
- הווקטורים שווים, כלומר AB ו-DC מקבילים ושווים באורכם — זהו תנאי מספיק לכך ש-ABCD מקבילית, ומאשש את המסקנה מסעיף ב'.
תשובה: AB=(−1,3), DC=(−1,3) — שווים.
ד.שימו לב שהאלכסון BD מקביל לציר ה-x (מכיוון שהקואורדינטה y של B ושל D שווה, שתיהן 4). האלכסון BD מחלק את המקבילית לשני משולשים, ABD ו-CBD. מצאו את אורך BD ואת המרחק הניצב מהנקודות A ומ-C לישר BD (באמצעות הפרשי ערכי ה-y בלבד, מכיוון ש-BD אופקי), וחשבו את שטח כל אחד מהמשולשים.
5 נק׳הציגו פתרון
- אורך BD (קטע אופקי): |x_D − x_B| = |11−1| = 10.
- מכיוון ש-BD מקביל לציר x (על הישר y=4), המרחק הניצב מנקודה כלשהי לישר זה הוא פשוט הפרש ערכי ה-y.
- המרחק מ-A(2,1) לישר BD: |4−1|=3. המרחק מ-C(10,7) לישר BD: |7−4|=3.
- שטח משולש ABD: (1/2)·10·3=15. שטח משולש CBD: (1/2)·10·3=15.
תשובה: BD=10, שני הגבהים שווים ל-3, ושטח כל משולש הוא 15.
ה.חשבו את שטח המקבילית ABCD כולה, בהתבסס על תוצאת סעיף ד'.
4 נק׳הציגו פתרון
- האלכסון BD מחלק את המקבילית לשני משולשים ללא חפיפה בשטח, ABD ו-CBD, ששטחם יחד הוא שטח המקבילית כולה.
- שטח המקבילית = שטח ABD + שטח CBD = 15+15 = 30 מ"ר.
תשובה: 30 מ"ר.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.