פונקציית שורש √(x²−4x) · מתכונת 35471

1. הביטוי מתחת לשורש חייב להיות אי-שלילי: x²−4x≥0.
2. נפרק לגורמים: x(x−4)≥0.
3. המכפלה של שני הביטויים x ו-(x−4) אי-שלילית כאשר שניהם מאותו סימן (או מתאפסים), כלומר כאשר x≤0 או x≥4.

תשובה: x≤0 או x≥4

1. נרשום את השורש כחזקה: f(x)=(x²−4x) בחזקת 1/2. לפי כלל השרשרת: f'(x) = (1/2)·(x²−4x) בחזקת (−1/2) · (2x−4).
2. נפשט: f'(x) = (2x−4)/(2√(x²−4x)) = (x−2)/√(x²−4x).

תשובה: f'(x) = (x−2)/√(x²−4x)

1. שבר מתאפס כאשר המונה שלו מתאפס (והמכנה שונה מאפס): x−2=0, כלומר x=2.
2. לפי סעיף א', תחום ההגדרה של f הוא x≤0 או x≥4 — הנקודה x=2 אינה שייכת לתחום זה (היא נמצאת בפער שבין 0 ל-4, שבו f כלל אינה מוגדרת).
3. המסקנה: לפונקציה f אין אף נקודה בתוך תחום הגדרתה שבה הנגזרת מתאפסת — כלומר, אין לה נקודת קיצון "רגילה" (פנימית) בתחום ההגדרה.

תשובה: x=2 אינו בתחום ההגדרה — ל-f אין נקודת קיצון (נגזרת מתאפסת) בתוך תחום הגדרתה.

1. בתחום x≤0, ה-x−2 שלילי (כי x<2), ו-√(x²−4x) חיובי (למעט בקצה x=0) — כך שהנגזרת f'(x)=(שלילי)/(חיובי) שלילית, ולכן f יורדת בכל התחום x<0.
2. בתחום x≥4, ה-x−2 חיובי (כי x>2), וגם √(x²−4x) חיובי — כך שהנגזרת f'(x)=(חיובי)/(חיובי) חיובית, ולכן f עולה בכל התחום x>4.

תשובה: f יורדת בתחום x<0, ועולה בתחום x>4.

1. בתחום x≤0, מסעיף ד' f יורדת עד לקצה הימני של התחום, x=0, שם f(0)=√(0−0)=0 — זהו הערך הקטן ביותר שהפונקציה מקבלת בתחום זה.
2. בתחום x≥4, מסעיף ד' f עולה מהקצה השמאלי של התחום, x=4, שם f(4)=√(16−16)=0 — זהו הערך הקטן ביותר שהפונקציה מקבלת בתחום זה.
3. אין בכך סתירה: נקודות המינימום הללו אינן נקודות קיצון "פנימיות" (שבהן הנגזרת מתאפסת), אלא נקודות קצה של תחום ההגדרה — הפונקציה פשוט אינה מוגדרת מעבר להן, כך שהמינימום נובע ממגבלת התחום ולא מהתנהגות הנגזרת.

תשובה: בשני חלקי התחום הערך המזערי הוא 0, המתקבל ב-x=0 (לחלק x≤0) וב-x=4 (לחלק x≥4).