שאלון 35471פרק א' — סטטיסטיקה והסתברות22 נקודות · ברמת הבחינה
בכיתה נבדק הקשר בין מספר שעות הלימוד השבועיות לקראת מבחן הבגרות הקרוב (x) לבין הציון שהתקבל במבחן תרגול (y). לאחר איסוף הנתונים מ-10 תלמידים, שמספר שעות הלימוד שלהם נע בטווח שבין 2 ל-10 שעות בשבוע, חושב ישר הרגרסיה הליניארית של y על x, ונמצא כי משוואתו היא y = 5x + 48. הציון הממוצע של עשרת התלמידים היה ȳ = 78 נקודות.
א.לפי ישר הרגרסיה, מהו הציון הצפוי לתלמיד שלמד 8 שעות בשבוע?
4 נק׳הציגו פתרון
- נציב x=8 במשוואת ישר הרגרסיה: y=5·8+48.
- נחשב: y=40+48=88 נקודות.
תשובה: 88 נקודות.
ב.פרשו במילים את משמעות השיפוע (5) של ישר הרגרסיה, בהקשר הסיפור.
4 נק׳הציגו פתרון
- השיפוע של ישר הרגרסיה מבטא את קצב השינוי הממוצע ב-y הנובע מעלייה של יחידה אחת ב-x.
- בהקשר הסיפור: בכל שעת לימוד נוספת בשבוע, הציון הצפוי עולה בממוצע ב-5 נקודות (בקירוב הליניארי).
תשובה: בממוצע, כל שעת לימוד נוספת בשבוע קשורה לעלייה של כ-5 נקודות בציון.
ג.ידוע כי ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך הנקודה (x̄, ȳ), כאשר x̄ ו-ȳ הם הממוצעים של x ו-y בקבוצת הנתונים. השתמשו בעובדה זו, ובנתון ȳ=78, כדי למצוא את מספר שעות הלימוד הממוצע x̄ בקבוצה.
4 נק׳הציגו פתרון
- נציב y=ȳ=78 במשוואת ישר הרגרסיה, ונפתור עבור x=x̄: 78 = 5x̄ + 48.
- נבודד: 5x̄ = 78−48 = 30, ומכאן x̄ = 6.
תשובה: x̄ = 6 שעות.
ד.מקדם המתאם r בין שעות הלימוד לציון בקבוצה המקורית של 10 התלמידים הוא r=0.92, המעיד על מתאם ליניארי חיובי חזק. כעת מצטרף לקבוצה תלמיד נוסף שלמד 0 שעות בשבוע אך קיבל ציון גבוה מאוד (95), בניגוד מובהק למגמה הכללית. כיצד צפויה תוספת הנתון הזה להשפיע על ערך |r| — האם יגדל, יקטן, או יישאר ללא שינוי? נמקו (אין צורך בחישוב).
5 נק׳הציגו פתרון
- מקדם המתאם r מודד את מידת ההתאמה של הנקודות לישר הרגרסיה.
- הנקודה החדשה (0, 95) רחוקה מאוד ממגמת שאר הנתונים (ציון גבוה מאוד למרות מספר שעות לימוד נמוך מאוד), ולכן היא מגדילה את הפיזור סביב הישר.
- משום כך צפוי ש-|r| יקטן (המתאם הליניארי ייחלש), למרות שסימנו יישאר כנראה חיובי.
תשובה: |r| צפוי לקטון.
ה.התלמיד יואב טוען שלפי ישר הרגרסיה, תלמיד שילמד 20 שעות בשבוע יקבל ציון של 148 נקודות, ושאפשר לסמוך על התחזית הזו. האם ניתן לסמוך עליה? נמקו.
5 נק׳הציגו פתרון
- מבחינה חישובית: y=5·20+48=100+48=148, כך שהחישוב האריתמטי של יואב נכון.
- אולם x=20 חורג מאוד מטווח הנתונים שנאספו בפועל (2 עד 10 שעות לימוד בשבוע), ולכן מדובר באקסטרפולציה מחוץ לתחום הנתונים — אין הצדקה להניח שהקשר הליניארי נשמר שם.
- בנוסף, ציון של 148 חורג מהטווח ההגיוני של ציון במבחן (עד 100), מה שמחזק שהתחזית אינה אמינה.
תשובה: לא ניתן לסמוך עליה.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.