הפונקציה x + 9/x — קיצון · מתכונת 35471

1. האיבר 9/x אינו מוגדר כאשר x=0, ולכן תחום ההגדרה של f הוא כל x≠0.
2. נרשום f(x) = x + 9x⁻¹. נגזרת x היא 1, ונגזרת 9x⁻¹ (לפי כלל החזקה) היא 9·(−1)x⁻²=−9x⁻².
3. לכן f'(x) = 1 − 9x⁻² = 1 − 9/x².

תשובה: תחום הגדרה: x≠0; f'(x) = 1 − 9/x².

1. נשווה לאפס: 1 − 9/x² = 0, כלומר 9/x²=1.
2. נכפול ב-x²: 9=x², ומכאן x=3 או x=−3 (שתי הנקודות שייכות לתחום ההגדרה, x≠0).

תשובה: x=3, x=−3

1. הנגזרת השנייה: f''(x) = 18x⁻³ = 18/x³.
2. ב-x=3: f''(3)=18/27=2/3>0, ולכן זו נקודת מינימום מקומי. f(3)=3+9/3=3+3=6.
3. ב-x=−3: f''(−3)=18/(−27)=−2/3<0, ולכן זו נקודת מקסימום מקומי. f(−3)=−3+9/(−3)=−3−3=−6.

תשובה: מינימום מקומי ב-x=3 (f=6); מקסימום מקומי ב-x=−3 (f=−6).

1. כאשר x→0⁺ (מימין), האיבר 9/x שואף ל-+∞, ולכן f(x)→+∞. כאשר x→0⁻ (משמאל), 9/x שואף ל-−∞, ולכן f(x)→−∞. לכן x=0 היא אסימפטוטה אנכית.
2. f(x)−x = (x+9/x)−x = 9/x. כאשר x→+∞ או x→−∞, הביטוי 9/x שואף ל-0.
3. כלומר ההפרש בין ערכי הפונקציה לבין ערכי הישר y=x הולך ומתאפס ככל ש-|x| גדל — הגרף של f מתקרב יותר ויותר לישר y=x מבלי להגיע אליו, ולכן y=x הוא אסימפטוטה משופעת של הגרף.

תשובה: אסימפטוטה אנכית: x=0; אסימפטוטה משופעת: y=x.

1. הטענה שגויה: אסימפטוטה משופעת מתארת רק את ההתנהגות של הגרף כאשר x שואף לאינסוף (רחוק מהראשית) — שם הגרף אכן מתקרב לקו הישר y=x.
2. אך בתחום שליד הראשית (לא רחוק מדי מ-x=0), התנהגות הפונקציה שונה לגמרי, ושם בדיוק נמצאות נקודות הקיצון שנמצאו בסעיף ג': מקסימום מקומי ב-x=−3 ומינימום מקומי ב-x=3.
3. אין כל סתירה בין קיום אסימפטוטה משופעת (המתארת התנהגות ב-±∞) לבין קיום נקודות קיצון מקומיות (המתארות התנהגות ליד הראשית) — אלו שתי תכונות של אזורים שונים בגרף, ושתיהן מתקיימות יחד באותה פונקציה, כפי שחושב בפועל.

תשובה: לא, הטענה שגויה.