שאלת מתכונת — שאלון 35471

1. N(0) = −0+0+0 = 0 — ברגע פתיחת הקמפיין (t=0) אין עדיין מנויים פעילים באתר.
2. N(7) = −343+6·49+15·7 = −343+294+105 = 56 — בתום הקמפיין (t=7) יש באתר 56 מנויים פעילים.

תשובה: N(0)=0, N(7)=56.

1. הנגזרת: N'(t) = −3t² + 12t + 15.
2. N'(t) מייצגת את קצב השינוי היומי במספר המנויים הפעילים ביום ה-t — כלומר את ההפרש בין קצב ההצטרפות של מנויים חדשים לבין קצב הביטולים. כאשר N'(t)>0 מספר המנויים הפעילים גדל, וכאשר N'(t)<0 הוא קטן.

תשובה: N'(t) = −3t² + 12t + 15; מייצגת את קצב השינוי היומי במספר המנויים הפעילים.

1. נשווה לאפס ונחלק ב-−3: −3t²+12t+15=0 גורר t²−4t−5=0.
2. נפרק לגורמים: (t−5)(t+1)=0, ומכאן t=5 או t=−1.
3. הפתרון t=−1 נמצא מחוץ לתחום ההגדרה 0≤t≤7 ונדחה. הפתרון היחיד הרלוונטי הוא t=5.

תשובה: t=5 (הפתרון t=−1 נדחה, מחוץ לתחום).

1. הנגזרת השנייה: N''(t)=−6t+12. ב-t=5: N''(5)=−30+12=−18<0, ולכן t=5 היא נקודת מקסימום מקומי.
2. טבלת סימנים ל-N'(t)=−3(t−5)(t+1) בתחום 0≤t≤7: עבור 0<t<5 (למשל t=1): N'(1)=−3(−4)(2)=24>0, N עולה. עבור 5<t<7 (למשל t=6): N'(6)=−3(1)(7)=−21<0, N יורדת.
3. N(5) = −125+6·25+15·5 = −125+150+75 = 100 — מספר המנויים הפעילים המרבי (100) מתקבל ביום ה-5 לקמפיין.

תשובה: מקסימום מקומי ב-t=5, N(5)=100; N עולה עבור 0<t<5, יורדת עבור 5<t<7.

1. מסעיף ד' עולה ש-N יורדת החל מ-t=5 ואילך (בתוך התחום 0≤t≤7), ולפי סעיף ג' זוהי נקודת הקיצון הפנימית היחידה של הפונקציה — אין נקודת קיצון נוספת שבה המגמה עשויה להתהפך שוב ולחזור לעלייה.
2. מכיוון ש-N(t) היא פונקציה ממעלה שלישית עם מקדם מוביל שלילי (−t³), ואחרי t=5 אין עוד נקודות קיצון, המגמה היורדת נמשכת גם מעבר לתחום המקורי — כלומר גם בין t=7 ל-t=9 הפונקציה ממשיכה לרדת, לא לעלות.
3. לכן, לפי המודל, הארכת הקמפיין לא תגדיל את מספר המנויים הפעילים — להפך, היא צפויה רק להמשיך את הירידה שכבר החלה. טענת מנהל השיווק שגויה.
4. הערה: הצבה ישירה נותנת N(9) = −729+486+135 = −108, ערך שלילי שאינו אפשרי כלל כמספר מנויים. זהו סימן נוסף לכך שהמודל תקף רק בתחום שהוגדר לו, 0≤t≤7, ואין להסתמך עליו מספרית מעבר לתחום זה — אך מגמת הירידה שהוא מתאר החל מ-t=5 ברורה בכל מקרה.

תשובה: לא, הטענה שגויה.