כביש חוצה שמורה — מיתר במעגל · מתכונת 35471

1. נציב y=x−1 במשוואת המעגל x²+y²=25: x² + (x−1)² = 25.
2. נפתח סוגריים: x² + x²−2x+1 = 25, כלומר 2x²−2x+1 = 25.
3. נעביר אגפים: 2x²−2x−24 = 0. נחלק ב-2: x²−x−12 = 0.

תשובה: x² − x − 12 = 0

1. נפרק לגורמים: x²−x−12 = (x−4)(x+3) = 0, ומכאן x=4 או x=−3.
2. נציב כל ערך במשוואת הכביש y=x−1: עבור x=4, y=3 — נקודה A(4,3). עבור x=−3, y=−4 — נקודה B(−3,−4).
3. אימות: 4²+3²=16+9=25 ✓, וגם (−3)²+(−4)²=9+16=25 ✓ — שתי הנקודות אכן על גבול השמורה.

תשובה: A(4,3), B(−3,−4)

1. לפי נוסחת המרחק בין שתי נקודות: AB = √((4−(−3))² + (3−(−4))²) = √(7²+7²) = √(49+49) = √98.
2. נפשט: √98 = √(49×2) = 7√2 ק"מ.

תשובה: 7√2 ק"מ

1. שיפוע הכביש (מ-y=x−1) הוא 1, ולכן שיפוע הישר המאונך לו הוא −1.
2. הישר המאונך עובר דרך O(0,0) עם שיפוע −1: y=−x.
3. נמצא את נקודת החיתוך F עם הכביש: נשווה −x = x−1, כלומר −2x=−1, ומכאן x=0.5, y=−0.5. F(0.5,−0.5).
4. המרחק OF = √(0.5² + 0.5²) = √(0.25+0.25) = √0.5 = √2/2 ק"מ.

תשובה: F(0.5,−0.5), OF = √2/2 ק"מ

1. מחצית אורך AB: (7√2)/2, ובריבוע: ((7√2)/2)² = 98/4.
2. OF בריבוע: (√2/2)² = 2/4.
3. סכום: 98/4 + 2/4 = 100/4 = 25.
4. זהו בדיוק r² (רדיוס השמורה הוא 5, ו-5²=25), כנדרש — התוצאות בסעיפים ג' וד' עקביות זו עם זו לפי משפט פיתגורס.

תשובה: 98/4 + 2/4 = 25 — התנאי מתקיים.