שאלון 35471פרק ג' — חדו"א של פולינומים, רציונליות ושורש22 נקודות · ברמת הבחינה
מפעל מייצר רכיבים אלקטרוניים. עלות הייצור הכוללת (בש"ח) של x רכיבים ביום נתונה על ידי הפונקציה C(x) = x² + 10x + 3600 (עבור x>0). העלות הממוצעת ליחידה מוגדרת כ-A(x) = C(x)/x.
א.בטאו את A(x) כביטוי פשוט (ללא שבר מורכב), על ידי חלוקת כל אחד מאיברי C(x) ב-x.
4 נק׳הציגו פתרון
- A(x) = C(x)/x = (x² + 10x + 3600)/x.
- נחלק כל איבר במונה ב-x בנפרד: x²/x=x, 10x/x=10, 3600/x=3600/x.
- A(x) = x + 10 + 3600/x.
תשובה: A(x) = x + 10 + 3600/x
ב.מצאו את הנגזרת A'(x).
4 נק׳הציגו פתרון
- נגזרת x היא 1, נגזרת הקבוע 10 היא 0.
- נרשום 3600/x כ-3600x⁻¹: נגזרתו היא −3600x⁻², כלומר −3600/x².
- A'(x) = 1 − 3600/x².
תשובה: A'(x) = 1 − 3600/x²
ג.פתרו את המשוואה A'(x)=0 עבור x>0, ומצאו את מספר היחידות x שעבורו העלות הממוצעת עשויה להיות מזערית.
5 נק׳הציגו פתרון
- נשווה לאפס: 1 − 3600/x² = 0, כלומר 1 = 3600/x².
- נכפול ב-x²: x² = 3600.
- נוציא שורש (x>0): x = 60.
תשובה: x = 60
ד.הראו שהערך x=60 אכן נותן עלות ממוצעת מזערית (ולא מרבית), וחשבו את העלות הממוצעת המזערית ליחידה.
5 נק׳הציגו פתרון
- הנגזרת השנייה: A''(x) = 7200/x³, שהיא חיובית עבור כל x>0, ולכן A(x) קעורה כלפי מעלה בכל תחומה — נקודת x=60 היא אכן נקודת מינימום.
- נחשב את העלות הממוצעת: A(60) = 60 + 10 + 3600/60 = 60 + 10 + 60 = 130 ש"ח ליחידה.
תשובה: עלות ממוצעת מזערית: 130 ש"ח ליחידה.
ה.מנהל הייצור טוען שאם יגדילו את הייצור היומי ל-x=100 יחידות, העלות הממוצעת ליחידה תרד עוד יותר, מתחת ל-130 ש"ח. האם הוא צודק? חשבו את A(100) ונמקו.
4 נק׳הציגו פתרון
- נציב x=100: A(100) = 100 + 10 + 3600/100 = 100 + 10 + 36 = 146 ש"ח ליחידה.
- 146 גדול מ-130 (העלות הממוצעת המזערית שנמצאה בסעיף ד'), ולכן טענת מנהל הייצור שגויה.
- ההסבר: x=60 הוא בדיוק נקודת המינימום. עבור x>60, האיבר x (המייצג עלויות שגדלות עם היקף הייצור, למשל עומס יתר) גדל מהר יותר משהאיבר 3600/x (עלות קבועה מפוזרת ליחידה) קטן, כך שהעלות הממוצעת חוזרת ועולה.
תשובה: לא, מנהל הייצור אינו צודק.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.