שאלון 35471פרק ב' — גאומטרייה אנליטית22 נקודות · קלה יחסית
בפארק עירוני מתוכננת ערוגת פרחים מרובעת ABCD, שקודקודיה (ביחידות של מטרים, לפי סדר סביב ההיקף) הם A(8,9), B(−3,11), C(2,1) ו-D(13,−1). האדריכלית מיכל טוענת שצורת הערוגה היא מעוין (רומבוס).
א.מצאו את אמצע האלכסון AC ואת אמצע האלכסון BD. מה ניתן להסיק מכך על סוג המרובע ABCD?
4 נק׳הציגו פתרון
- אמצע AC: ((8+2)/2, (9+1)/2) = (10/2, 10/2) = (5,5).
- אמצע BD: ((−3+13)/2, (11+(−1))/2) = (10/2, 10/2) = (5,5).
- שני האלכסונים חולקים את אותה נקודת אמצע, ולכן הם חוצים זה את זה. מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא בהכרח מקבילית.
תשובה: שתי האמצעים הם (5,5); ABCD הוא מקבילית.
ב.מצאו את שיפוע האלכסון AC ואת שיפוע האלכסון BD, ובדקו האם הם מאונכים זה לזה.
5 נק׳הציגו פתרון
- שיפוע AC: m_AC = (1−9)/(2−8) = (−8)/(−6) = 4/3.
- שיפוע BD: m_BD = (−1−11)/(13−(−3)) = (−12)/16 = −3/4.
- מכפלת השיפועים: (4/3)·(−3/4) = −1, ולכן AC⊥BD.
תשובה: שיפוע AC = 4/3, שיפוע BD = −3/4; מכפלתם −1, ולכן מאונכים.
ג.ידוע כי מקבילית שאלכסוניה מאונכים זה לזה היא מעוין (רומבוס). השתמשו בתוצאות הסעיפים א' ו-ב' כדי לקבוע שהמרובע ABCD הוא אכן מעוין, ונמקו בקצרה.
3 נק׳הציגו פתרון
- בסעיף א' הוכח ש-ABCD מקבילית (האלכסונים חוצים זה את זה), ובסעיף ב' הוכח שהאלכסונים גם מאונכים זה לזה.
- לפי התכונה הגאומטרית הנתונה, מקבילית שאלכסוניה מאונכים היא מעוין — ולכן ABCD הוא מעוין, כטענת האדריכלית מיכל.
תשובה: ABCD הוא מעוין.
ד.חשבו את אורך האלכסון AC ואת אורך האלכסון BD, וחשבו לפיהם את שטח ערוגת הפרחים.
5 נק׳הציגו פתרון
- אורך AC: √((8−2)²+(9−1)²) = √(6²+8²) = √(36+64) = √100 = 10 מטר.
- אורך BD: √((13−(−3))²+(−1−11)²) = √(16²+(−12)²) = √(256+144) = √400 = 20 מטר.
- שטח מעוין שווה למחצית מכפלת אלכסוניו: שטח = (1/2)·AC·BD = (1/2)·10·20 = 100 מ"ר.
תשובה: AC=10, BD=20, שטח=100 מ"ר.
ה.הגנן איתי טוען: "מכיוון שאורכי האלכסונים AC ו-BD שונים זה מזה (10 לעומת 20), אי אפשר שהצורה תהיה מעוין — לכל היותר זהו 'דלתון' (kite)." האם איתי צודק? נמקו.
5 נק׳הציגו פתרון
- הגדרת מעוין מתבססת על אורכי הצלעות (ארבע צלעות שוות), ולא על אורכי האלכסונים.
- אלכסוני כל מעוין תמיד מאונכים זה לזה וחוצים זה את זה — אבל אין דרישה שיהיו שווים באורכם. שוויון באורכי האלכסונים מתקיים רק במקרה הפרטי שבו המעוין הוא גם ריבוע (מלבן).
- ההוכחה בסעיפים א'-ג' התבססה בדיוק על התנאי הנכון (חציית האלכסונים זה את זה, יחד עם ניצבות ביניהם) — תנאי שאינו תלוי כלל בשוויון אורכי האלכסונים. לכן טענת איתי שגויה: ABCD הוא אכן מעוין, למרות ש-AC≠BD.
תשובה: לא, איתי אינו צודק.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.