שאלת מתכונת — שאלון 35471

1. הנגזרת: f'(x) = 3x² − 6x + a.
2. בנקודת קיצון מתקיים f'(x)=0, ולכן נציב x=3: f'(3) = 3·9 − 6·3 + a = 27−18+a = 9+a.
3. נשווה לאפס: 9+a=0, ומכאן a=−9.

תשובה: a = −9

1. עם a=−9, הנגזרת היא f'(x) = 3x² − 6x − 9.
2. נוציא גורם משותף 3: f'(x) = 3(x² − 2x − 3).
3. נפרק לגורמים: x²−2x−3 = (x−3)(x+1).
4. נשווה לאפס: 3(x−3)(x+1)=0, ומכאן x=3 או x=−1. אלו נקודות החשד לקיצון.

תשובה: x = −1 ו-x = 3

1. f'(x)=3(x−3)(x+1). נבדוק את הסימן בשלושה תחומים: עבור x<−1 (למשל x=−2): 3(−5)(−1)=15>0, הפונקציה עולה.
2. עבור −1<x<3 (למשל x=0): 3(−3)(1)=−9<0, הפונקציה יורדת.
3. עבור x>3 (למשל x=4): 3(1)(5)=15>0, הפונקציה עולה.
4. מעבר מעלייה לירידה ב-x=−1 מעיד על מקסימום מקומי: f(−1)=(−1)³−3(−1)²−9(−1)+4=−1−3+9+4=9.
5. מעבר מירידה לעלייה ב-x=3 מעיד על מינימום מקומי: f(3)=27−27−27+4=−23.

תשובה: מקסימום מקומי ב-x=−1 (f=9), מינימום מקומי ב-x=3 (f=−23).

1. מכיוון שמקדם x³ חיובי, הגרף יורד מ-−∞ (משמאל) ועולה עד ל-+∞ (מימין), בהתאם להתנהגות פולינום ממעלה שלישית עם מקדם מוביל חיובי.
2. לפי סעיף ג', הגרף עולה עד לנקודה (−1,9) (מקסימום מקומי), ואז יורד עד לנקודה (3,−23) (מינימום מקומי), ולאחר מכן חוזר לעלות.
3. נקודת החיתוך עם ציר y: f(0)=0−0+0+4=4, כלומר הנקודה (0,4), הנמצאת על הקטע היורד שבין שתי נקודות הקיצון.

תשובה: הגרף עולה, מגיע למקסימום מקומי ב-(−1,9), יורד עד למינימום מקומי ב-(3,−23), ואז עולה שוב; חותך את ציר y ב-(0,4).

1. בסעיף הקודם מצאנו f(0)=4, כלומר נקודת ההשקה היא (0,4).
2. נחשב את שיפוע המשיק: f'(0) = 3·0² − 6·0 − 9 = −9.
3. נציב בנוסחת הישר: y−4 = −9(x−0), כלומר y = −9x+4.

תשובה: y = −9x + 4