רציונלית — אסימפטוטה משופעת · מתכונת 35471

1. המכנה מתאפס כאשר x−1=0, כלומר x=1, ולכן תחום ההגדרה הוא כל x≠1 — וזו גם משוואת האסימפטוטה האנכית.
2. נבצע חילוק פולינומים: 2x²−8x+14 ÷ (x−1). שלב 1: 2x²÷x=2x; 2x·(x−1)=2x²−2x; ההפרש: (2x²−8x+14)−(2x²−2x)=−6x+14.
3. שלב 2: −6x÷x=−6; −6·(x−1)=−6x+6; ההפרש: (−6x+14)−(−6x+6)=8.
4. לכן 2x²−8x+14 = (x−1)(2x−6)+8, כלומר f(x) = 2x−6 + 8/(x−1).
5. כאשר x שואף ל-±∞, האיבר 8/(x−1) שואף ל-0, ולכן f(x) מתקרבת לישר y=2x−6 — זוהי האסימפטוטה המשופעת.

תשובה: תחום הגדרה: x≠1; f(x)=2x−6+8/(x−1); אסימפטוטה אנכית x=1; אסימפטוטה משופעת y=2x−6.

1. נגזור את f(x)=2x−6+8(x−1)⁻¹: f'(x) = 2 − 8(x−1)⁻² = 2 − 8/(x−1)².
2. נשווה לאפס: 2 = 8/(x−1)², כלומר (x−1)² = 4.
3. נוציא שורש: x−1 = 2 או x−1 = −2, ומכאן x=3 או x=−1.

תשובה: f'(x) = 2 − 8/(x−1)²; x=3 או x=−1.

1. הנגזרת השנייה: f''(x) = 16(x−1)⁻³ = 16/(x−1)³.
2. ב-x=3: f''(3) = 16/2³ = 16/8 = 2 > 0, ולכן זו נקודת מינימום מקומי. f(3) = 2·3−6+8/(3−1) = 0+4 = 4.
3. ב-x=−1: f''(−1) = 16/(−2)³ = 16/(−8) = −2 < 0, ולכן זו נקודת מקסימום מקומי. f(−1) = 2·(−1)−6+8/(−1−1) = −8−4 = −12.

תשובה: מינימום מקומי ב-x=3 (f=4); מקסימום מקומי ב-x=−1 (f=−12).

1. "מקסימום מקומי" ו"מינימום מקומי" משווים כל נקודה רק לנקודות הקרובות אליה בגרף, ולא לגרף כולו — ולכן אין דרישה שערך מקסימום מקומי יהיה גדול מערך מינימום מקומי שנמצא במקום אחר בגרף.
2. כאן שתי נקודות הקיצון נמצאות משני צדדיו של האסימפטוטה האנכית x=1 (x=−1 מצד אחד, x=3 מצד שני): כאשר x שואף ל-1 מכל צד, |f(x)| שואף לאינסוף, כך שהגרף "מתפרק" לשני ענפים נפרדים שאינם רציפים זה בזה.
3. מכיוון שהמקסימום המקומי (ב-x=−1) והמינימום המקומי (ב-x=3) נמצאים על שני ענפים שונים ובלתי-רציפים של הגרף, אין כל משמעות להשוואה ביניהם כפי שהייתה בפונקציה רציפה — ולכן אין כאן סתירה. הטענה שגויה.

תשובה: לא, אין כאן סתירה.

1. לפי הצורה שנמצאה בסעיף א': f(x)−(2x−6) = 8/(x−1).
2. כאשר x שואף ל-+∞ או ל-−∞, המכנה (x−1) שואף בהתאמה ל-+∞ או ל-−∞, ולכן השבר כולו, 8/(x−1), שואף ל-0.
3. המשמעות: ההפרש (המרחק האנכי) בין גרף f לבין הישר y=2x−6 הולך וקטן עד שהוא מתאפס כאשר |x| גדל ללא גבול — כלומר הגרף מתקרב יותר ויותר לישר, מבלי בהכרח להיפגש איתו. זו בדיוק ההגדרה של אסימפטוטה משופעת, ולכן y=2x−6 היא אכן אסימפטוטה משופעת של גרף f.

תשובה: f(x)−(2x−6) = 8/(x−1) → 0 כאשר x→±∞.