בריכות נוי — מעגלים משיקים · מתכונת 35471

1. מעגל שמשיק לשני הצירים ונמצא ברביע הראשון, מרחקו מכל אחד מהצירים שווה לרדיוס שלו.
2. הרדיוס נתון: 3 מטר, ולכן מרכז המעגל נמצא במרחק 3 מכל ציר — הנקודה (3,3).
3. משוואת המעגל: (x−3)²+(y−3)²=3², כלומר (x−3)²+(y−3)²=9.

תשובה: מרכז (3,3), משוואה: (x−3)²+(y−3)²=9

1. כאשר שני מעגלים משיקים חיצונית, כל מעגל נמצא מחוץ למשנהו ונוגע בו בנקודה אחת בדיוק, על הקטע הישר המחבר בין שני המרכזים.
2. נקודת ההשקה נמצאת במרחק r₁ מהמרכז הראשון ובמרחק r₂ מהמרכז השני, ומכיוון שהיא נמצאת בדיוק על הקטע המחבר בין המרכזים, המרחק הכולל בין המרכזים הוא r₁+r₂.
3. לפי נוסחת המרחק בין מרכז A(3,3) למרכז B(13,k): המרחק בריבוע הוא (13−3)²+(k−3)².
4. נשווה לריבוע סכום הרדיוסים (3+7)²=100: (13−3)²+(k−3)²=(3+7)².

תשובה: (13−3)² + (k−3)² = (3+7)²

1. נציב ונפשט: (10)²+(k−3)²=10², כלומר 100+(k−3)²=100.
2. נבודד: (k−3)²=0, ומכאן k−3=0, כלומר k=3.

תשובה: k = 3

1. עם k=3, מרכז B הוא (13,3) ורדיוסו 7, ולכן משוואתו: (x−13)²+(y−3)²=49.
2. המרחק בין מרכזי A(3,3) ו-B(13,3): d=√((13−3)²+(3−3)²)=√(100+0)=√100=10 מטר.

תשובה: (x−13)²+(y−3)²=49, המרחק בין המרכזים הוא 10 מטר.

1. סכום הרדיוסים של שתי הבריכות הוא r₁+r₂=3+7=10 מטר.
2. המרחק בין המרכזים שחושב בסעיף ד' הוא בדיוק 10 מטר — זהה לסכום הרדיוסים.
3. לכן התוצאה עקבית עם תנאי ההשקה החיצונית, ומאשרת ששתי הבריכות אכן משיקות זו לזו כפי שנדרש בסיפור.

תשובה: 10=3+7 — התנאי מתקיים.