פולינום שלישי — שני תנאים · מתכונת 35471

1. נציב x=2, f(2)=10 בביטוי הפונקציה: 2³ + a·2² + b·2 = 10, כלומר 8 + 4a + 2b = 10.
2. נבודד: 4a + 2b = 2. נחלק ב-2: 2a + b = 1.

תשובה: 2a + b = 1

1. הנגזרת: f'(x) = 3x² + 2ax + b.
2. נציב x=−1: f'(−1) = 3 − 2a + b = 0, כלומר −2a + b = −3.
3. נחסר את המשוואה הזו מהמשוואה שמצאנו בסעיף א' (2a+b=1): (2a+b)−(−2a+b) = 1−(−3), כלומר 4a = 4, ומכאן a=1.
4. נציב במשוואת סעיף א': 2·1+b=1, כלומר b=−1.

תשובה: a = 1, b = −1

1. הנגזרת: f'(x) = 3x² + 2x − 1.
2. נפרק לגורמים: 3x²+2x−1 = (3x−1)(x+1).
3. נשווה לאפס: (3x−1)(x+1)=0, ומכאן x=1/3 או x=−1 (כצפוי, x=−1 אכן פתרון, בהתאם לנתון).

תשובה: x = −1 ו-x = 1/3

1. הנגזרת השנייה: f''(x) = 6x + 2.
2. ב-x=−1: f''(−1) = −6+2 = −4 < 0, ולכן זו נקודת מקסימום מקומי. f(−1) = (−1)³+(−1)²−(−1) = −1+1+1 = 1.
3. ב-x=1/3: f''(1/3) = 2+2 = 4 > 0, ולכן זו נקודת מינימום מקומי. f(1/3) = 1/27+1/9−1/3 = 1/27+3/27−9/27 = −5/27.

תשובה: מקסימום מקומי ב-x=−1 (f=1); מינימום מקומי ב-x=1/3 (f=−5/27).

1. f(0) = 0³+0²−0 = 0, וערך זה אכן נמצא בין −5/27 (≈−0.19) לבין 1 — אך היות הערך "בין" ערכי הקיצון אינה מספיקה כדי להסיק שהנקודה עצמה קיצון.
2. נבדוק ישירות: f'(0) = 3·0²+2·0−1 = −1 ≠ 0, ולכן x=0 אינה נקודת קיצון (הנגזרת שם אינה מתאפסת).
3. ההסבר: הנקודה x=0 נמצאת בתחום שבין נקודת המקסימום (x=−1) לנקודת המינימום (x=1/3), שבו f יורדת ברציפות (כפי שמעיד f'(0)<0) — כלומר f(0)=0 הוא רק אחד מהערכים ש-f עוברת בדרכה מהמקסימום למינימום, ולא נקודת קיצון בפני עצמה. טענת התלמיד שגויה.

תשובה: לא, הטענה אינה נכונה.