שאלת מתכונת — שאלון 35471

1. אינטגרל של 3x² הוא x³. אינטגרל של −12x הוא −6x². אינטגרל של הקבוע 9 הוא 9x.
2. לכן: F(x) = x³ − 6x² + 9x + C, כאשר C קבוע אינטגרציה כלשהו.

תשובה: F(x) = x³ − 6x² + 9x + C

1. נציב x=0, f(0)=2 בביטוי מסעיף א': 0³−6·0²+9·0+C = 2, כלומר C=2.
2. לכן: f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2.

תשובה: C=2; f(x) = x³ − 6x² + 9x + 2.

1. נשווה את הנגזרת לאפס: 3x²−12x+9=0. נחלק ב-3: x²−4x+3=0, ונפרק: (x−1)(x−3)=0, ומכאן x=1 או x=3.
2. הנגזרת השנייה: f''(x)=6x−12.
3. ב-x=1: f''(1)=6−12=−6<0, ולכן זו נקודת מקסימום מקומי. f(1)=1−6+9+2=6.
4. ב-x=3: f''(3)=18−12=6>0, ולכן זו נקודת מינימום מקומי. f(3)=27−54+27+2=2.

תשובה: מקסימום מקומי ב-x=1 (f=6); מינימום מקומי ב-x=3 (f=2).

1. f'(x)=3(x−1)(x−3). עבור x<1 (למשל x=0): f'(0)=3(−1)(−3)=9>0, f עולה.
2. עבור 1<x<3 (למשל x=2): f'(2)=3(1)(−1)=−3<0, f יורדת.
3. עבור x>3 (למשל x=4): f'(4)=3(3)(1)=9>0, f עולה שוב.

תשובה: f עולה עבור x<1, יורדת עבור 1<x<3, ועולה שוב עבור x>3.

1. נציב ישירות: f(2) = 2³−6·2²+9·2+2 = 8−24+18+2 = 4. אכן שווה לממוצע (6+2)/2=4, ולכן הטענה נכונה.
2. ההסבר: הנגזרת השנייה היא f''(x)=6x−12, והיא מתאפסת ב-x=2 — זו נקודת הפיתול של f. שימו לב ש-x=2 נמצאת בדיוק באמצע שבין שתי נקודות הקיצון x=1 ו-x=3.
3. אפשר להראות בחישוב ישיר שהגרף "מאוזן" סביב הנקודה הזו: נסמן ב-u את המרחק מ-x=2 ונפתח סוגריים. f(2+u) = (2+u)³−6(2+u)²+9(2+u)+2 = u³−3u+4, ובאותו אופן f(2−u) = −u³+3u+4.
4. סכום שני הערכים הוא f(2+u)+f(2−u) = 8 לכל u, כלומר תמיד f(2+u)+f(2−u) = 2·f(2). בפרט עבור u=1: f(3)+f(1) = 2+6 = 8 = 2·f(2).
5. לכן f(2) הוא בדיוק הממוצע של f(1) ו-f(3) — לא צירוף מקרים, אלא תוצאה של כך ששתי נקודות הקיצון נמצאות במרחק שווה משני צדי נקודת הפיתול x=2.

תשובה: f(2)=4 — הטענה נכונה.