כבל גשר — פונקציה רביעית · מתכונת 35471

1. נציב −x בפונקציה: f(−x) = (−x)⁴ − 8(−x)² + a = x⁴ − 8x² + a = f(x), מכיוון ש-(−x)⁴=x⁴ ו-(−x)²=x² (חזקות זוגיות).
2. מכיוון שהתקיים f(−x)=f(x) לכל x, הפונקציה זוגית, ומשמעות הדבר גאומטרית היא שהגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה-y (תמונת ראי).

תשובה: f זוגית; הגרף סימטרי ביחס לציר y.

1. הנגזרת: f'(x) = 4x³ − 16x.
2. נוציא גורם משותף: f'(x) = 4x(x²−4) = 4x(x−2)(x+2).
3. נשווה לאפס: 4x(x−2)(x+2)=0, ומכאן x=0 או x=2 או x=−2.

תשובה: x = 0, x = 2, x = −2

1. הנגזרת השנייה: f''(x) = 12x² − 16.
2. ב-x=0: f''(0) = −16 < 0, ולכן זו נקודת מקסימום מקומי.
3. ב-x=2: f''(2) = 12·4−16 = 32 > 0, ולכן זו נקודת מינימום מקומי. באופן דומה ב-x=−2: f''(−2)=32>0, גם היא מינימום מקומי (וניתן היה להסיק זאת ישירות גם מסימטריית f, מסעיף א').

תשובה: מקסימום מקומי ב-x=0; מינימום מקומי ב-x=2 וב-x=−2.

1. נציב x=2 בפונקציה: f(2) = 2⁴ − 8·2² + a = 16 − 32 + a = −16 + a.
2. נתון שערך זה שווה ל-−9: −16 + a = −9.
3. נבודד: a = −9 + 16 = 7.

תשובה: a = 7

1. מסעיף ג', נקודות הקיצון לפי סדר על ציר x הן: מינימום ב-x=−2, מקסימום ב-x=0, מינימום ב-x=2. לכן f יורדת עד x=−2, עולה מ-x=−2 עד x=0, יורדת מ-x=0 עד x=2, ועולה שוב מ-x=2 והלאה — בדיוק דפוס "יורד-עולה-יורד-עולה" של האות W.
2. מסעיף ד' (עם a=7): f(2)=f(−2)=−16+7=−9 (שתי הנקודות המינימליות זהות בגובהן, כצפוי מהסימטריה), ו-f(0)=0−0+7=7 (נקודת המקסימום ביניהן).
3. כל הפרטים בתיאורו של רם — הצורה, גבהי המינימום השווים, וגובה המקסימום — תואמים במדויק את תוצאות החקירה. רם צודק.

תשובה: כן, התיאור של רם מדויק.