שאלת מתכונת — שאלון 35471

1. נשווה: −x²+4x = x.
2. נעביר אגפים: −x²+3x = 0, כלומר x(−x+3)=0 (או x(3−x)=0).
3. ומכאן x=0 או x=3.

תשובה: x = 0 ו-x = 3

1. נבחר נקודת בדיקה בתוך התחום, למשל x=1: f(1) = −1+4 = 3, ואילו g(1) = 1.
2. מכיוון ש-f(1)=3 > g(1)=1, הפונקציה f (הקשת הפרבולית) נמצאת מעל g (השביל) בכל התחום 0≤x≤3.

תשובה: f(x) ≥ g(x) בתחום 0≤x≤3 — הקשת מעל השביל.

1. השטח בין שתי עקומות, כאשר f מעל g בתחום, נתון על ידי האינטגרל של ההפרש f(x)−g(x) בין נקודות החיתוך.
2. f(x)−g(x) = (−x²+4x) − x = −x²+3x — בדיוק הביטוי שהופיע בסעיף א' לפני השוואה לאפס.
3. שטח = ∫₀³ (−x²+3x) dx.

תשובה: שטח = ∫₀³ (−x²+3x) dx

1. נמצא פונקציה קדומה: ∫(−x²+3x)dx = −x³/3 + 3x²/2.
2. נציב בגבולות: ב-x=3: −27/3 + 27/2 = −9+13.5 = 4.5. ב-x=0: 0.
3. שטח = 4.5 − 0 = 4.5 = 9/2 מ"ר.

תשובה: שטח = 9/2 = 4.5 מ"ר.

1. שטח מתחת ל-f בין נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-x (x=0 ו-x=4, שכן −x²+4x=0 נותן x=0 או x=4): ∫₀⁴(−x²+4x)dx = [−x³/3+2x²]₀⁴ = (−64/3+32) = 32/3.
2. שטח המשולש מתחת ל-g בין x=0 ל-x=3: (1/2)·3·3 = 9/2.
3. ההפרש המוצע: 32/3 − 9/2 = 64/6 − 27/6 = 37/6 ≈ 6.17 — שונה מתוצאת סעיף ד' (9/2 = 27/6).
4. הגנן אינו צודק: השיטה שלו משווה בין שני שטחים שחושבו על פני תחומים שונים (0 עד 4 לעומת 0 עד 3), ולכן ההחסרה ביניהם אינה מבטאת את השטח הכלוא בין f ל-g. החישוב התקין הוא זה שבסעיף ג'-ד', שבו שתי הפונקציות מושוות על פני אותו תחום בדיוק (0 עד 3, נקודות החיתוך ההדדיות של f ו-g).

תשובה: לא, הגנן אינו צודק — ההפרש 37/6 שונה מ-9/2.