שאלת מתכונת — שאלון 35471

1. רדיוס המעגל הוא המרחק מהמרכז O(0,0) לנקודה A(3,4) שעל המעגל: r = √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5.
2. משוואת מעגל שמרכזו בראשית הצירים: x²+y² = r².
3. נציב r=5: x²+y² = 25.

תשובה: x² + y² = 25

1. קו המשיק למעגל בנקודה נתונה מאונך לרדיוס באותה נקודה.
2. שיפוע הרדיוס OA: m_OA = (4−0)/(3−0) = 4/3.
3. שיפוע המשיק: m = −1/(4/3) = −3/4.
4. נציב את הנקודה A(3,4) בנוסחת הישר: y−4 = −(3/4)(x−3).
5. נפתח: y = −(3/4)x + 9/4 + 4 = −(3/4)x + 25/4. נכפול ב-4: 4y = −3x+25, כלומר 3x+4y=25.

תשובה: 3x + 4y = 25 (כלומר y = −(3/4)x + 25/4)

1. נחשב את המרחק OB: OB = √((12−0)²+(5−0)²) = √(144+25) = √169 = 13.
2. אורך המשיק מנקודה חיצונית מקיים (אורך המשיק)² + r² = OB² (משפט פיתגורס, מכיוון שהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה).
3. נציב: (אורך המשיק)² = 13² − 5² = 169−25=144.
4. נוציא שורש: אורך המשיק = √144 = 12 מטר.

תשובה: 12 מטר.

1. מתכונת המשיק למעגל: המשיק מאונך לרדיוס בכל נקודת השקה, ולכן הזווית ∠OTB, הנוצרת בין הרדיוס OT לבין קטע המשיק TB, היא זווית ישרה בהכרח.
2. מכיוון שהזווית בקודקוד T ישרה, המשולש OTB הוא משולש ישר-זווית, שבו הניצבים הם OT (הרדיוס, אורכו 5 מטר) ו-TB (אורך המשיק, שנמצא בסעיף ג' כ-12 מטר).
3. שטח משולש ישר-זווית שווה למחצית מכפלת שני הניצבים: שטח = (1/2)·5·12 = 30 מ"ר.

תשובה: שטח המשולש OTB הוא 30 מ"ר.