שאלון 35471פרק ב' — גאומטרייה אנליטית22 נקודות · קלה יחסית
בגן ציבורי נבנתה מזרקה עגולה. במערכת צירים שראשיתה בבסיס המזרקה, מרכז המעגל התוחם את שפת המזרקה הוא O(0,0), והנקודה A(3,4) נמצאת על שפת המזרקה (יחידות: מטרים). מהנקודה B(12,5), שבה עומד ספסל בגן, יוצא שביל המשיק למעגל המזרקה.
א.מצאו את משוואת המעגל התוחם את שפת המזרקה.
6 נק׳הציגו פתרון
- רדיוס המעגל הוא המרחק מהמרכז O(0,0) לנקודה A(3,4) שעל המעגל: r = √(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 5.
- משוואת מעגל שמרכזו בראשית הצירים: x²+y² = r².
- נציב r=5: x²+y² = 25.
תשובה: x² + y² = 25
ב.מצאו את משוואת קו המשיק למעגל בנקודה A(3,4).
6 נק׳הציגו פתרון
- קו המשיק למעגל בנקודה נתונה מאונך לרדיוס באותה נקודה.
- שיפוע הרדיוס OA: m_OA = (4−0)/(3−0) = 4/3.
- שיפוע המשיק: m = −1/(4/3) = −3/4.
- נציב את הנקודה A(3,4) בנוסחת הישר: y−4 = −(3/4)(x−3).
- נפתח: y = −(3/4)x + 9/4 + 4 = −(3/4)x + 25/4. נכפול ב-4: 4y = −3x+25, כלומר 3x+4y=25.
תשובה: 3x + 4y = 25 (כלומר y = −(3/4)x + 25/4)
ג.חשבו את אורך קטע המשיק מהספסל B(12,5) למעגל (כלומר, את המרחק מ-B לנקודת ההשקה).
5 נק׳הציגו פתרון
- נחשב את המרחק OB: OB = √((12−0)²+(5−0)²) = √(144+25) = √169 = 13.
- אורך המשיק מנקודה חיצונית מקיים (אורך המשיק)² + r² = OB² (משפט פיתגורס, מכיוון שהמשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה).
- נציב: (אורך המשיק)² = 13² − 5² = 169−25=144.
- נוציא שורש: אורך המשיק = √144 = 12 מטר.
תשובה: 12 מטר.
ד.סמנו ב-T את נקודת ההשקה של המשיק היוצא מ-B. הסבירו מדוע הזווית ∠OTB (בין הרדיוס OT לבין קטע המשיק TB) היא זווית ישרה, ועל סמך זה חשבו את שטח המשולש OTB.
5 נק׳הציגו פתרון
- מתכונת המשיק למעגל: המשיק מאונך לרדיוס בכל נקודת השקה, ולכן הזווית ∠OTB, הנוצרת בין הרדיוס OT לבין קטע המשיק TB, היא זווית ישרה בהכרח.
- מכיוון שהזווית בקודקוד T ישרה, המשולש OTB הוא משולש ישר-זווית, שבו הניצבים הם OT (הרדיוס, אורכו 5 מטר) ו-TB (אורך המשיק, שנמצא בסעיף ג' כ-12 מטר).
- שטח משולש ישר-זווית שווה למחצית מכפלת שני הניצבים: שטח = (1/2)·5·12 = 30 מ"ר.
תשובה: שטח המשולש OTB הוא 30 מ"ר.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של GeekHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.