שאלת מתכונת — שאלון 35471

1. משוואת מעגל כללית: x²+y²+px+qy+r=0.
2. נציב את A(0,0): 0+0+0+0+r=0, כלומר r=0.
3. נציב את B(8,0): 64+0+8p+0+r=0, כלומר 64+8p+r=0.
4. נציב את C(0,6): 0+36+0+6q+r=0, כלומר 36+6q+r=0.

תשובה: r=0; 64+8p+r=0; 36+6q+r=0.

1. מהמשוואה הראשונה: r=0.
2. נציב r=0 במשוואת B: 64+8p=0, ומכאן p=−8.
3. נציב r=0 במשוואת C: 36+6q=0, ומכאן q=−6.
4. משוואת המעגל: x²+y²−8x−6y=0.

תשובה: p=−8, q=−6, r=0; x²+y²−8x−6y=0.

1. נשלים לריבוע: x²−8x=(x−4)²−16, y²−6y=(y−3)²−9.
2. נציב: (x−4)²−16+(y−3)²−9=0, כלומר (x−4)²+(y−3)²=25.
3. מרכז המעגל: (4,3). רדיוס: √25=5.
4. אימות: המרחק מ-(4,3) ל-A(0,0): √(16+9)=√25=5. המרחק ל-B(8,0): √((4−8)²+3²)=√(16+9)=5. המרחק ל-C(0,6): √(4²+(3−6)²)=√(16+9)=5. שלוש הנקודות אכן על המעגל.

תשובה: מרכז (4,3), רדיוס 5.

1. מרחק ממרכז (4,3) לנקודה D(4,−1): √((4−4)²+(3−(−1))²) = √(0+16) = √16 = 4.
2. מכיוון שהמרחק (4) קטן מהרדיוס (5), הנקודה D נמצאת בתוך המעגל — היישוב נמצא בתוך אזור הסיכון.

תשובה: מרחק 4 < 5 — היישוב בתוך אזור הסיכון.

1. מרחק ממרכז (4,3) לנקודה E(9,7): √((9−4)²+(7−3)²) = √(25+16) = √41 ≈ 6.4.
2. מכיוון ש-√41 > 5 (הרדיוס), הנקודה E נמצאת מחוץ למעגל — ביתה של התושבת אכן מחוץ לאזור הסיכון.
3. עם זאת, הנימוק המילולי הכללי ("רחוק מספיק מ-B ומ-C") אינו קריטריון מדויק כשלעצמו — הקריטריון הנכון והמדויק הוא המרחק ממרכז המעגל בהשוואה לרדיוס, כפי שחושב כאן, ולא הקרבה למספר נקודות ספציפיות על היקפו.

תשובה: מרחק √41≈6.4 > 5 — הטענה נכונה, הבית מחוץ לאזור הסיכון.