ישר ומעגל — דיסקרימיננטה · מתכונת 35471

1. נציב y=2x+k במשוואת המעגל x²+y²=20: x² + (2x+k)² = 20.
2. נפתח את הסוגריים: (2x+k)² = 4x²+4kx+k². לכן: x² + 4x² + 4kx + k² = 20, כלומר 5x² + 4kx + k² = 20.
3. נעביר אגפים: 5x² + 4kx + (k²−20) = 0.

תשובה: 5x² + 4kx + (k²−20) = 0

1. לפי הנוסחה Δ=b²−4ac, עם a=5, b=4k, c=(k²−20): Δ = (4k)² − 4·5·(k²−20).
2. נפשט: Δ = 16k² − 20(k²−20) = 16k² − 20k² + 400 = −4k² + 400 = 400 − 4k².

תשובה: Δ = 400 − 4k² (= 4(100−k²))

1. דורשים Δ>0: 400 − 4k² > 0.
2. נחלק ב-4: 100 − k² > 0, כלומר k² < 100.
3. מכאן: −10 < k < 10.

תשובה: −10 < k < 10

1. דורשים Δ=0: 400 − 4k² = 0, כלומר k²=100, ומכאן k=10 או k=−10.
2. נציב כל ערך במשוואת הישר y=2x+k: עבור k=10 מתקבל y=2x+10, ועבור k=−10 מתקבל y=2x−10.

תשובה: k=10 או k=−10; הישרים y=2x+10 ו-y=2x−10.

1. נציב k=15 בביטוי לדיסקרימיננטה: Δ = 400 − 4·15² = 400 − 4·225 = 400 − 900 = −500.
2. מכיוון ש-Δ<0, למשוואה הריבועית אין פתרונות ממשיים, כלומר לישר ולמעגל אין אף נקודת חיתוך משותפת.
3. זה עקבי גם עם התוצאה הכללית מסעיף ג': k=15 גדול מ-10, ולכן נמצא מחוץ לתחום −10<k<10 שבו יש חיתוך, ומחוץ לערכים k=±10 שבהם יש השקה — כלומר k=15 נמצא בתחום שבו הישר "מפספס" את המעגל לגמרי. דנה צודקת.

תשובה: כן, דנה צודקת.