שאלון 35471פרק א' — סטטיסטיקה והסתברות22 נקודות · מאתגרת
במוקד שירות לקוחות של חברת ביטוח נבדק מספר התלונות המתקבלות ביום אחד (X). על סמך נתונים היסטוריים, התפלגות ההסתברות של המשתנה המקרי הבדיד X נתונה בטבלה: X: 0 1 2 3 P(X=x): 0.2 0.4 0.3 0.1
א.לפי הטבלה, מהי ההסתברות שביום נתון יתקבלו 2 תלונות או יותר?
4 נק׳הציגו פתרון
- האירוע "2 תלונות או יותר" מתקיים כאשר X=2 או X=3.
- P(X≥2) = P(X=2) + P(X=3) = 0.3 + 0.1 = 0.4.
תשובה: 0.4
ב.חשבו את התוחלת E(X) של מספר התלונות היומי, לפי הנוסחה E(X) = Σx·P(X=x).
4 נק׳הציגו פתרון
- E(X) = 0×0.2 + 1×0.4 + 2×0.3 + 3×0.1.
- נחשב כל מכפלה: 0, 0.4, 0.6, 0.3. סכומן: 0+0.4+0.6+0.3 = 1.3.
תשובה: E(X) = 1.3
ג.נוסחת סטיית התקן המוכרת מחשבת ממוצע של ריבועי הסטיות מהממוצע, כאשר כל ערך "שוקל" באותה מידה (חלוקה ב-n). כאן ערכי X אינם שווי-סבירות, ולכן יש לשקלל כל סטייה בריבוע לפי ההסתברות שלה במקום לפי 1/n: השונות נתונה על ידי σ² = Σ P(X=x)·(x−E(X))². חשבו את הסטייה (x−E(X)) של כל ערך מהתוחלת שמצאתם בסעיף ב', העלו כל סטייה בריבוע, שקללו לפי ההסתברות המתאימה, וסכמו כדי למצוא את השונות σ².
6 נק׳הציגו פתרון
- נחשב את הסטייה של כל ערך מ-E(X)=1.3: 0−1.3=−1.3, 1−1.3=−0.3, 2−1.3=0.7, 3−1.3=1.7.
- נעלה בריבוע: (−1.3)²=1.69, (−0.3)²=0.09, (0.7)²=0.49, (1.7)²=2.89.
- נשקלל כל ריבוע לפי ההסתברות המתאימה: 0.2×1.69=0.338, 0.4×0.09=0.036, 0.3×0.49=0.147, 0.1×2.89=0.289.
- נסכום: σ² = 0.338+0.036+0.147+0.289 = 0.81.
תשובה: σ² = 0.81
ד.מצאו את סטיית התקן σ של מספר התלונות היומי, ופרשו במילים את משמעותה בהקשר הסיפור.
4 נק׳הציגו פתרון
- σ = √σ² = √0.81 = 0.9.
- סטיית התקן מבטאת את מידת הפיזור הטיפוסית של מספר התלונות היומי סביב התוחלת (1.3): בממוצע, מספר התלונות ביום נתון סוטה מהתוחלת בכ-0.9 תלונות, לכיוון זה או אחר.
תשובה: σ = 0.9
ה.עובד במוקד טוען: "התוחלת שחישבתם, E(X)=1.3, אינה יכולה להיות נכונה — הרי אף פעם לא מתקבלות 1.3 תלונות ביום, המספר תמיד שלם (0, 1, 2 או 3)." האם הטענה נכונה? נמקו מהי המשמעות הנכונה של התוחלת במקרה כזה.
4 נק׳הציגו פתרון
- הטענה שגויה: התוחלת אינה תחזית לתוצאה של יום בודד, אלא ממוצע ארוך-טווח — הערך שאליו מתקרב הממוצע החשבוני של מספר התלונות, אילו נספרו ימים רבים מאוד.
- בדיוק כפי שממוצע של קבוצת מספרים שלמים (למשל ציונים) יכול לצאת עשרוני (כמו 78.5) גם אם כל ציון בודד שלם, כך גם תוחלת של משתנה מקרי שמקבל רק ערכים שלמים יכולה לצאת ערך שאינו שלם.
- בכל יום בודד יתקבל אחד הערכים 0, 1, 2 או 3 בלבד — אך הממוצע לאורך זמן רב של ימים כאלה אכן מתקרב ל-1.3, כפי שחושב בסעיף ב'. לכן אין כל סתירה, וטענת העובד שגויה.
תשובה: לא, הטענה אינה נכונה.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.