קופסה ללא מכסה — מינימום שטח · מתכונת 35471

1. נפח תיבה שבסיסה ריבוע: V = x²·h.
2. נתון V=32, ולכן x²·h=32, ומכאן h=32/x².

תשובה: h = 32/x²

1. שטח הבסיס: x². שטח כל אחת מארבע הדפנות: x·h, ובסך הכול ארבע דפנות: 4xh.
2. S = x² + 4xh. נציב h=32/x² מסעיף א': S(x) = x² + 4x·(32/x²) = x² + 128/x.

תשובה: S(x) = x² + 128/x

1. הנגזרת: S'(x) = 2x − 128/x².
2. נשווה לאפס: 2x − 128/x² = 0, כלומר 2x = 128/x².
3. נכפול ב-x²: 2x³ = 128, ומכאן x³=64, כלומר x=4 (הפתרון החיובי היחיד הרלוונטי).

תשובה: x = 4

1. הנגזרת השנייה: S''(x) = 2 + 256/x³, שהיא חיובית עבור כל x>0 (שני האיברים חיוביים), ולכן הפונקציה S(x) קעורה כלפי מעלה בכל תחומה, ונקודת x=4 היא אכן נקודת מינימום.
2. נציב x=4 בקשר מסעיף א': h = 32/4² = 32/16 = 2 דצ"מ.
3. נחשב את שטח הקרטון המזערי: S(4) = 4² + 128/4 = 16+32 = 48 דצ"מ רבוע.

תשובה: x=4, h=2, שטח קרטון מזערי S=48 דצ"מ רבוע.

1. נציב x=8 בביטוי לשטח: S(8) = 8² + 128/8 = 64+16 = 80 דצ"מ רבוע.
2. 80 דצ"מ רבוע גדול משמעותית מ-48 דצ"מ רבוע, שהוא שטח הקרטון המזערי שנמצא בסעיף ד'.
3. לכן טענת מנהל הייצור שגויה: בחירת x=8 דורשת יותר קרטון, לא פחות, בהשוואה לפתרון האופטימלי x=4.

תשובה: לא, הוא אינו צודק.