שאלון 35471פרק ב' — גאומטרייה אנליטית22 נקודות · קלה יחסית
שתי תחנות ניטור סביבתי, A(1,5) ו-B(7,1) (יחידות: ק"מ), פועלות באזור תעשייה. מתכננים להקים תחנת ממסר חדשה שתהיה במרחק שווה בדיוק משתי התחנות — כלומר, על האנך האמצעי לקטע AB.
א.מצאו את אמצע הקטע AB ואת שיפוע הישר AB.
5 נק׳הציגו פתרון
- אמצע AB: M = ((1+7)/2, (5+1)/2) = (8/2, 6/2) = (4,3).
- שיפוע AB: m_AB = (1−5)/(7−1) = (−4)/6 = −2/3.
תשובה: אמצע M(4,3), שיפוע AB = −2/3.
ב.מצאו את משוואת האנך האמצעי לקטע AB (הישר המאונך ל-AB ועובר דרך אמצעו).
5 נק׳הציגו פתרון
- שיפוע האנך האמצעי הוא הופכי-נגדי לשיפוע AB: m = −1/(−2/3) = 3/2 = 1.5.
- נציב את נקודת האמצע M(4,3) בנוסחת הישר: y−3 = 1.5(x−4).
- נפתח: y = 1.5x − 6 + 3 = 1.5x − 3.
תשובה: y = 1.5x − 3
ג.המהנדס מציע להקים את תחנת הממסר בנקודה D(0,−3). הראו כי נקודה זו שוות מרחק משתי התחנות A ו-B, על ידי חישוב ישיר של המרחקים DA ו-DB (בלי להשתמש במשוואת האנך האמצעי).
4 נק׳הציגו פתרון
- DA = √((0−1)² + (−3−5)²) = √(1+64) = √65.
- DB = √((0−7)² + (−3−1)²) = √(49+16) = √65.
- מכיוון ש-DA=DB=√65, הנקודה D אכן שוות מרחק משתי התחנות.
תשובה: DA = DB = √65
ד.על פי תכנון עירוני, תחנת הממסר חייבת להיות ממוקמת בדיוק על הכביש הראשי, המתואר על ידי ציר ה-x (y=0). מצאו את הנקודה P על האנך האמצעי שנמצאת גם היא על ציר ה-x, וקבעו האם ניתן להציב שם את תחנת הממסר במקום ב-D.
4 נק׳הציגו פתרון
- נציב y=0 במשוואת האנך האמצעי מסעיף ב': 0 = 1.5x − 3, ומכאן 1.5x=3, כלומר x=2. הנקודה P(2,0).
- מכיוון ש-P נמצאת על האנך האמצעי לקטע AB (בדיוק כמו D), היא בהכרח שוות מרחק גם היא מ-A ומ-B — ולכן ניתן להציב בה את תחנת הממסר במקום ב-D, וכך לעמוד גם בדרישת התכנון העירוני (מיקום על הכביש הראשי).
תשובה: P(2,0); כן, ניתן — P נמצאת על האנך האמצעי ולכן שוות מרחק כמו D.
ה.ראש הצוות טוען: "כל נקודה על ציר ה-x — לא רק P — שוות מרחק משתי התחנות A ו-B, מכיוון שציר ה-x הוא גם הוא ישר, בדיוק כמו האנך האמצעי." האם הטענה נכונה? נמקו.
4 נק׳הציגו פתרון
- הטענה שגויה: התכונה "שוות מרחק משני קצות קטע" מתקיימת אך ורק עבור נקודות שנמצאות בדיוק על האנך האמצעי לאותו קטע — לא עבור כל ישר כלשהו.
- ציר ה-x הוא ישר כללי שאינו זהה לאנך האמצעי (שמשוואתו y=1.5x−3); שני הישרים נחתכים בנקודה אחת בלבד, P(2,0), שנמצאת על שניהם גם יחד.
- לכן רק הנקודה P שוות מרחק מ-A ומ-B, ואף לא נקודה אחרת על ציר ה-x. לדוגמה, הנקודה (0,0) נמצאת על ציר ה-x אך לא על האנך האמצעי, ואכן המרחקים שלה אינם שווים: המרחק ל-A(1,5) הוא √(1+25)=√26, ואילו המרחק ל-B(7,1) הוא √(49+1)=√50. טענת ראש הצוות שגויה.
תשובה: לא, הטענה אינה נכונה.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.