גדילת חיידקים — שטח מתחת ל-eˣ · מתכונת 35472

1. נחשב f(1) = e¹ = e, ואת הנגזרת f'(x)=eˣ, ולכן f'(1)=e.
2. משוואת המשיק: y − f(1) = f'(1)·(x−1), כלומר y − e = e(x−1).
3. נפתח: y = e + ex − e = ex.

תשובה: y = e·x.

1. נציב x=0 במשוואת המשיק y=ex: y = e·0 = 0. הנקודה (0,0) היא ראשית הצירים, ולכן קו המשיק אכן עובר דרכה.

תשובה: כן — בנקודה x=0 מתקבל y=0.

1. מכיוון שבתחום 0≤x≤1 העקומה eˣ נמצאת מעל קו המשיק ex (למעט בנקודת ההשקה), השטח הכלוא ביניהם מתקבל מהאינטגרל של ההפרש (עליון פחות תחתון).
2. האינטגרל המתאר את השטח: ∫₀¹ (eˣ − ex) dx.

תשובה: שטח = ∫₀¹ (eˣ − ex) dx.

1. נמצא פונקציה קדומה: הקדומה של eˣ היא eˣ, והקדומה של ex היא ex²/2. פונקציה קדומה כוללת: F(x) = eˣ − ex²/2.
2. נציב את גבולות האינטגרציה: F(1) = e¹ − e·1²/2 = e − e/2 = e/2. F(0) = e⁰ − e·0²/2 = 1 − 0 = 1.
3. השטח = F(1) − F(0) = e/2 − 1.

תשובה: e/2 − 1.

1. נציב את הקירוב e≈2.718 בביטוי e/2 − 1: e/2 − 1 ≈ 2.718/2 − 1 = 1.359 − 1 = 0.359.
2. מכיוון ש-0.359 > 0.3, טענת דנה נכונה.

תשובה: כן, צדקה — השטח מקורב ל-0.359.