שאלת מתכונת — שאלון 35472

1. הביטוי x הוא פולינום, המוגדר לכל x, וגם e⁻ˣ מוגדרת לכל x ממשי.
2. מכפלה של שני ביטויים המוגדרים לכל x מוגדרת אף היא לכל x, ולכן תחום ההגדרה הוא כל הממשיים.

תשובה: כל הממשיים, x ∈ ℝ.

1. כלל המכפלה: (u·v)' = u'v+uv', כאשר u=x, u'=1, v=e⁻ˣ, v'=−e⁻ˣ.
2. f'(x) = 1·e⁻ˣ + x·(−e⁻ˣ) = e⁻ˣ·(1−x).

תשובה: f'(x) = e⁻ˣ·(1 − x).

1. נשווה f'(x)=0: e⁻ˣ(1−x)=0. מכיוון ש-e⁻ˣ>0 תמיד, מתקבל 1−x=0, כלומר x=1.
2. נבדוק סימן: עבור x<1, מתקיים (1−x)>0 ו-e⁻ˣ>0, ולכן f'(x)>0 (עולה). עבור x>1, מתקיים (1−x)<0, ולכן f'(x)<0 (יורדת).
3. מכיוון שהנגזרת עוברת מחיובית לשלילית, x=1 היא נקודת מקסימום. f(1) = 1·e⁻¹ = 1/e.
4. לסיכום: f עולה ב-x<1, יורדת ב-x>1, ונקודת המקסימום היא (1, 1/e).

תשובה: נקודת מקסימום (1, 1/e); f עולה ב-x<1 ויורדת ב-x>1.

1. כאשר x→∞: f(x)=x·e⁻ˣ=x/eˣ, ולפי העובדה הנתונה (הפונקציה המעריכית "מנצחת" כל פולינום), x/eˣ→0. לכן y=0 היא אסימפטוטה אופקית כאשר x→∞.
2. כאשר x→−∞: נסמן t=−x, כך ש-t→∞. מתקיים f(x)=x·e⁻ˣ = −t·eᵗ. מכיוון ש-t·eᵗ→∞ (מכפלה של שני גורמים ששואפים לאינסוף), מתקיים f(x)=−t·eᵗ→−∞.
3. לכן כאשר x→−∞ אין אסימפטוטה אופקית — הפונקציה שואפת ל−∞ ללא גבול.

תשובה: x→∞: f(x)→0 (אסימפטוטה y=0); x→−∞: f(x)→−∞ (אין אסימפטוטה אופקית בכיוון זה).

1. נגזור את f'(x)=e⁻ˣ(1−x) בכלל המכפלה: u=e⁻ˣ, u'=−e⁻ˣ; v=(1−x), v'=−1.
2. f''(x) = u'v+uv' = −e⁻ˣ(1−x) + e⁻ˣ·(−1) = e⁻ˣ·[−(1−x)−1] = e⁻ˣ·(x−2).
3. נשווה f''(x)=0: מכיוון ש-e⁻ˣ>0 תמיד, מתקבל x−2=0, כלומר x=2.
4. נבדוק סימן: עבור x<2, מתקיים (x−2)<0, ולכן f''(x)<0 (קעור כלפי מטה). עבור x>2, מתקיים (x−2)>0, ולכן f''(x)>0 (קעור כלפי מעלה).
5. מכיוון שהסימן מתחלף ב-x=2, זוהי נקודת פיתול. f(2) = 2·e⁻² = 2/e². נקודת הפיתול: (2, 2/e²).

תשובה: f''(x) = e⁻ˣ·(x−2); נקודת פיתול (2, 2/e²); הגרף קעור כלפי מטה ב-x<2 וקעור כלפי מעלה ב-x>2.