שאלון 35472פרק א' — סדרות, וקטורים וגדילה ודעיכה33 נקודות · ברמת הבחינה
רשת חנויות בגדים עוקבת אחר מכירות של קולקציה חדשה שמושקת בכל חנות. מספר הפריטים הנמכרים מדי שבוע מהקולקציה גדל בקצב קבוע (סדרה חשבונית). ידוע כי סך כל הפריטים שנמכרו בחמשת השבועות הראשונים הוא 175 פריטים, וכי בשבוע השביעי נמכרו 55 פריטים.
א.סמנו ב-a₁ את מספר הפריטים שנמכרו בשבוע הראשון וב-d את הפרש הסדרה. רשמו, באמצעות a₁ ו-d, שתי משוואות המבטאות את שני הנתונים בשאלה: סכום המכירות בחמשת השבועות הראשונים (S₅=175), ומספר הפריטים שנמכרו בשבוע השביעי (a₇=55).
6 נק׳הציגו פתרון
- נוסחת סכום סדרה חשבונית: Sₙ = n/2·(2a₁+(n−1)d). נציב n=5: S₅ = 5/2·(2a₁+4d) = 5a₁+10d. לפי הנתון S₅=175, מתקבלת המשוואה 5a₁+10d=175, ולאחר חלוקה ב-5: a₁+2d=35.
- נוסחת האיבר הכללי: aₙ=a₁+(n−1)d. נציב n=7: a₇=a₁+6d. לפי הנתון a₇=55, מתקבלת המשוואה השנייה: a₁+6d=55.
תשובה: 5a₁+10d = 175 (כלומר a₁+2d=35); a₁+6d = 55.
ב.פתרו את מערכת שתי המשוואות שמצאתם בסעיף א', ומצאו את a₁ ואת d.
6 נק׳הציגו פתרון
- נחסר את המשוואה הראשונה (a₁+2d=35) מהמשוואה השנייה (a₁+6d=55): (a₁+6d)−(a₁+2d) = 55−35, כלומר 4d=20, ומכאן d=5.
- נציב d=5 במשוואה a₁+2d=35: a₁+10=35, ומכאן a₁=25.
- בדיקה: S₅ = 5·25+10·5 = 125+50=175 ✓; a₇=25+6·5=25+30=55 ✓.
תשובה: a₁=25, d=5.
ג.רשמו את הנוסחה לאיבר הכללי aₙ, ומצאו כמה פריטים נמכרו בשבוע ה-15.
6 נק׳הציגו פתרון
- aₙ = a₁+(n−1)d = 25+5(n−1) = 25+5n−5 = 5n+20.
- נציב n=15: a₁₅ = 5·15+20 = 75+20 = 95 פריטים.
תשובה: aₙ = 5n+20; a₁₅=95.
ד.מצאו את סך כל הפריטים שנמכרו מהקולקציה בחמישה-עשר השבועות הראשונים (S₁₅).
8 נק׳הציגו פתרון
- נוסחת הסכום: Sₙ = n/2·(a₁+aₙ). נציב n=15, a₁=25, a₁₅=95 (מסעיף ג'): S₁₅ = 15/2·(25+95) = 7.5·120 = 900.
תשובה: 900 פריטים.
ה.מנהלת הרשת טוענת שבשבוע ה-20 יימכרו למעלה מ-150 פריטים מהקולקציה. האם צדקה? נמקו.
7 נק׳הציגו פתרון
- נציב n=20 בנוסחה מסעיף ג': a₂₀ = 5·20+20 = 100+20 = 120.
- מכיוון ש-120 < 150, טענת המנהלת שגויה: בשבוע ה-20 יימכרו רק 120 פריטים, פחות מ-150.
תשובה: לא צדקה — בשבוע ה-20 יימכרו 120 פריטים בלבד.
חלוקת הנקודות בין הסעיפים היא הערכה פנימית של MathHero — בשאלון הרשמי הניקוד ניתן לשאלה כולה.