קרן צדקה — סדרה הנדסית מתכנסת · מתכונת 35472

1. הביטוי q(x) הוא ביטוי רציונלי, המוגדר לכל x שעבורו המכנה שונה מאפס.
2. נדרוש x+2≠0, כלומר x≠−2. לכן q(x) מוגדר לכל x≠−2.

תשובה: לכל x≠−2.

1. יש לפתור |(x−1)/(x+2)| < 1. עבור מכנה שונה מאפס, אי-שוויון זה שקול לאי-השוויון (x−1)² < (x+2)² (הרמה בריבוע של שני האגפים האי-שליליים |x−1| ו-|x+2|, שאינה משנה את כיוון אי-השוויון).
2. נפתח את שני האגפים: (x−1)² = x²−2x+1, ו-(x+2)² = x²+4x+4.
3. נציב באי-השוויון: x²−2x+1 < x²+4x+4. נצמצם את x² משני האגפים: −2x+1 < 4x+4, כלומר −6x < 3.
4. נחלק ב-(−6) — מכיוון שהמספר שלילי, כיוון אי-השוויון מתהפך: x > 3/(−6) = −1/2.
5. לכן תנאי ההתכנסות הוא x > −1/2 (וניתן לבדוק שערך זה תואם x≠−2 מסעיף א' באופן אוטומטי, שכן −2 קטן מ−1/2).

תשובה: x > −1/2.

1. נציב x=4: q(4) = (4−1)/(4+2) = 3/6 = 1/2. מכיוון ש-|1/2|<1, ההתכנסות אכן מתקיימת (תואם לסעיף ב', שכן 4>−1/2).
2. נוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית: S = b₁/(1−q). נציב b₁=40,000 ו-q=1/2: S = 40,000/(1−1/2) = 40,000/0.5 = 80,000 ש"ח.

תשובה: q(4)=1/2; סכום הסדרה האינסופית = 80,000 ש"ח.

1. נציב x=−1: q(−1) = (−1−1)/(−1+2) = (−2)/1 = −2.
2. מכיוון ש-|−2|=2>1, מנת הסדרה אינה מקיימת את תנאי ההתכנסות, ולכן הסדרה ההנדסית מתבדרת ואין אפשרות לחשב עבורה סכום אינסופי — בהתאמה מלאה לתוצאת סעיף ב' (x=−1 אכן קטן מ−1/2).

תשובה: q(−1)=−2, |q|=2>1 — אין סכום אינסופי.

1. נבחן את q(x)=(x−1)/(x+2) כאשר x שואף לאינסוף: נחלק מונה ומכנה ב-x: q(x) = (1−1/x)/(1+2/x). כאשר x→∞, 1/x→0 ו-2/x→0, ולכן q(x) → (1−0)/(1+0) = 1.
2. כלומר, ככל ש-x גדל, q(x) מתקרב ל-1 (אך תמיד קטן ממנו ממש, שכן x−1<x+2 לכל x), ומכאן ש-(1−q(x)) מתקרב ל-0 מהצד החיובי.
3. בנוסחת הסכום S=b₁/(1−q(x)): מכיוון שהמכנה (1−q(x)) שואף ל-0⁺ בעוד המונה b₁=40,000 קבוע וחיובי, הסכום S שואף לאינסוף — הוא אינו מתכנס לגבול סופי קבוע.
4. לכן טענת חבר הוועד שגויה: אמנם עבור כל x קבוע ובודד (x>−1/2) הסכום S(x) הוא מספר סופי, אך ככל ש-x גדל ללא גבול, ערכי S(x) עצמם גדלים ללא גבול ואינם מתקרבים לגבול סופי.

תשובה: לא נכונה — ככל ש-x גדול, הסכום S שואף לאינסוף (אינו מתכנס לגבול סופי).