שאלת מתכונת — שאלון 35472

1. AB = B−A = (5−1, 2−2, 0−0) = (4,0,0).
2. DC = C−D = (7−3, 4−4, 1−1) = (4,0,0).
3. מתקיים AB=DC בדיוק (שוויון וקטורי מלא, לא רק שוויון אורכים) — כלומר הצלע AB מקבילה לצלע DC ושווה לה באורכה. זהו תנאי מספיק להיות המרובע מקבילית: אם זוג צלעות נגדיות במרובע שווה ומקביל (כווקטורים), הזוג השני שווה ומקביל אף הוא באופן אוטומטי, והמרובע הוא מקבילית.

תשובה: AB=(4,0,0)=DC, ולכן ABCD מקבילית.

1. BD = D−B = (3−5, 4−2, 1−0) = (−2,2,1).
2. |BD| = √((−2)²+2²+1²) = √(4+4+1) = √9 = 3.

תשובה: BD=(−2,2,1); |BD|=3 מטרים.

1. AD = D−A = (3−1, 4−2, 1−0) = (2,2,1). |AD| = √(4+4+1)=3.
2. מכפלה סקלרית: AB·AD = (4)(2)+(0)(2)+(0)(1) = 8.
3. נוסחת הזווית בין וקטורים: cosθ = (AB·AD)/(|AB|·|AD|) = 8/(4·3) = 8/12 = 2/3.

תשובה: AD=(2,2,1); cos(∠DAB)=2/3.

1. לפי הזהות sin²θ+cos²θ=1: sinθ = √(1−(2/3)²) = √(1−4/9) = √(5/9) = √5/3 (חיובי, כי 0°<θ<180°).
2. שטח = |AB|·|AD|·sinθ = 4·3·(√5/3) = 4√5 מ"ר (ה-3 מצטמצם).

תשובה: sinθ=√5/3; שטח המקבילית = 4√5 מ"ר.

1. |AB|=4 (סעיף א'), ואילו |AD|=3 (סעיף ג'). מכיוון ש-4≠3, שתי הצלעות הסמוכות AB ו-AD אינן שוות זו לזו באורכן.
2. שוויון AB=DC (סעיף א') מבטיח רק שזוג הצלעות הנגדיות AB ו-DC שווה זו לזו (וכן, באופן אוטומטי, גם הזוג הנגדי השני AD ו-BC שווה זה לזה) — זהו בדיוק תנאי המקבילית, לא תנאי שכל ארבע הצלעות שוות זו לזו (שהוא התנאי המיוחד להיות המקבילית מעוין).
3. לכן טענת המהנדס שגויה: ABCD היא מקבילית "רגילה", ואינה מעוין.

תשובה: לא צדק — |AB|=4 ≠ |AD|=3.