שאלת מתכונת — שאלון 35472

1. הביטוי x² מוגדר לכל x, אך הביטוי ln x מוגדר רק עבור x>0.
2. מכפלה מוגדרת בדיוק היכן ששני הגורמים מוגדרים, ולכן תחום ההגדרה של f הוא x>0.

תשובה: x > 0.

1. כלל המכפלה: (u·v)' = u'v+uv', כאשר u=x², u'=2x, v=ln x, v'=1/x.
2. f'(x) = 2x·ln x + x²·(1/x) = 2x·ln x + x.
3. נוציא x כגורם משותף: f'(x) = x·(2ln x + 1).

תשובה: f'(x) = 2x·ln x + x = x·(2ln x + 1).

1. נשווה f'(x)=0: x·(2ln x+1)=0. מכיוון ש-x>0 בתחום ההגדרה (x≠0), חייב להתקיים 2ln x+1=0, כלומר ln x=−1/2, ומכאן x = e בחזקת (−1/2) = 1/√e.
2. נבדוק סימן: עבור 0<x<1/√e, מתקיים ln x<−1/2, ולכן 2ln x+1<0, ומכאן (עם x>0) f'(x)<0 — הפונקציה יורדת. עבור x>1/√e, מתקיים ln x>−1/2, ולכן 2ln x+1>0, ומכאן f'(x)>0 — הפונקציה עולה.
3. מכיוון שהנגזרת עוברת משלילית לחיובית, x=1/√e היא נקודת מינימום. נחשב: f(1/√e) = (1/√e)²·ln(1/√e) = (1/e)·(−1/2) = −1/(2e).

תשובה: נקודת מינימום ב-x=1/√e, וערכה −1/(2e).

1. לפי העובדה הנתונה (עם n=2): x²·ln x → 0 כאשר x→0⁺, כלומר lim_{x→0⁺} f(x) = 0.
2. מכיוון שהגבול הזה קיים וסופי (0), ניתן להגדיר f(0)=0 ולקבל פונקציה מורחבת הרציפה גם בנקודה x=0 (הגבול משמאל אינו רלוונטי, כי x=0 הוא קצה תחום ההגדרה).

תשובה: הגבול הוא 0; ניתן להרחיב ברציפות בהגדרה f(0)=0.

1. מסעיף ג', הפונקציה יורדת בכל התחום 0<x<1/√e — כלומר מיד לאחר x=0 הפונקציה כבר יורדת, לא עולה.
2. נקודת מינימום מקומית דורשת שהפונקציה תרד לפניה ותעלה אחריה. בנקודה x=0 (הקצה השמאלי של התחום המורחב), הפונקציה יורדת מיד אחריה — כלומר x=0 היא נקודה שממנה יורדים (ערך מרבי בקצה התחום), ובוודאי לא נקודת מינימום.
3. בנוסף, f(0)=0 גדול מ-f(1/√e)=−1/(2e) (כי −1/(2e) שלילי), כך שהערך ב-x=0 אינו אפילו הערך הקטן ביותר בקרבת הנקודה — יש ערכים קטנים ממנו מיד מימין ל-0.
4. לכן טענת הטכנאי שגויה: לפונקציה המורחבת יש נקודת מינימום יחידה (וגלובלית), ב-x=1/√e, ואילו x=0 אינה נקודת מינימום.

תשובה: לא צדק — יש נקודת מינימום אחת בלבד, ב-x=1/√e; x=0 אינה נקודת מינימום.