תגובה כימית — e²ˣ−7eˣ+12 · מתכונת 35472

1. לפי חוקי חזקות, e²ˣ = (eˣ)² = t².
2. נציב: f(x) = e²ˣ−7eˣ+12 = t²−7t+12.

תשובה: t² − 7t + 12.

1. נפרק לגורמים: t²−7t+12 = (t−3)(t−4) (מכיוון ש-3·4=12 ו-3+4=7).
2. המשוואה (t−3)(t−4)=0 מתקיימת כאשר t=3 או t=4.

תשובה: t=3 או t=4.

1. עבור t=3: eˣ=3, ומכאן x=ln3.
2. עבור t=4: eˣ=4, ומכאן x=ln4=ln(2²)=2ln2.
3. לכן פתרונות המשוואה המקורית הם x=ln3 ו-x=2ln2.

תשובה: x=ln3 או x=2ln2 (=ln4).

1. פונקציית ln היא פונקציה עולה (מונוטונית עולה), ולכן ערך t גדול יותר מתאים תמיד לערך x=ln(t) גדול יותר.
2. מכיוון ש-3<4, מתקיים ln3<ln4, ולכן x=ln3 (המתאים ל-t=3) מתרחש מוקדם יותר מ-x=ln4=2ln2 (המתאים ל-t=4) — ללא צורך בחישוב הערכים המספריים של ln עצמם.

תשובה: x=ln3 מתרחש מוקדם יותר.

1. נציב t=3.5 בביטוי המפורק: (3.5−3)(3.5−4) = (0.5)·(−0.5) = −0.25.
2. מכיוון ש-t=3.5 מתאים לערך x=ln(3.5), הנמצא בין x=ln3 ל-x=ln4 (כי 3<3.5<4 ו-ln עולה), התוצאה מראה שאכן f(x)<0 בנקודה זו — כלומר קיים קטע שבו הביטוי המתמטי f(x) שלילי, כפי שטוען הכימאי.
3. מבחינה פיזית, ריכוז חומר בתמיסה לא יכול להיות שלילי. לכן הפער בין ln3 ל-ln4 (שבו f(x)<0 לפי המודל) מלמד שהמודל המתמטי f(x)=e²ˣ−7eˣ+12 אינו תיאור מדויק של הריכוז האמיתי בכל תחום ה-x — הוא תקף (מבחינת המשמעות הפיזיקלית) רק בתחומים שבהם f(x)≥0, ובפועל יש להניח שהתגובה הכימית האמיתית מתנהגת אחרת בקטע שבין שני האיפוסים (למשל, הריכוז נשאר אפס שם, ולא הופך לשלילי).

תשובה: מתמטית כן שלילי: (3.5−3)(3.5−4)=−0.25<0. מעשית: המודל תקף רק במקום שבו f(x)≥0, כלומר עד x=ln3 ומ-x=ln4 ואילך — בקטע שביניהם הוא אינו מתאר ריכוז פיזי אמיתי.