שני מודלי משתמשים — אי-שוויון · מתכונת 35472

1. P(0) = e⁰ = 1. L(0) = 2·0+1 = 1.
2. מכיוון ש-P(0)=L(0)=1 (שוויון בדיוק, לא P(0)>L(0)), כבר בנקודה x=0 אין אי-שוויון חד eˣ>2x+1 — יש שם שוויון. לכן ניסוח הטענה כ"תמיד, לכל x" אינו יכול להיות נכון במדויק.

תשובה: P(0)=L(0)=1 — שוויון, לא אי-שוויון חד; לכן הטענה "לכל x" אינה מדויקת כבר ב-x=0.

1. h'(x) = (eˣ)' − (2x+1)' = eˣ−2.
2. נשווה ל-0: eˣ−2=0, כלומר eˣ=2, ומכאן x=ln2 (לפי הגדרת הלוגריתם הטבעי כפונקציה ההופכית לפונקציה המעריכית).

תשובה: h'(x)=eˣ−2; נקודת החשד: x=ln2.

1. h''(x) = eˣ, וזהו ביטוי חיובי לכל x. מכיוון ש-h''(x)>0 לכל x, הפונקציה h קמורה בכל תחומה, ולכן נקודת החשד היחידה x=ln2 היא בהכרח נקודת מינימום גלובלית (הערך הקטן ביותר של h על פני כל הישר).
2. נחשב את h(ln2): מכיוון ש-e בחזקת ln2 שווה בדיוק ל-2 (מהגדרת הלוגריתם הטבעי כפונקציה ההופכית ל-eˣ), מתקבל h(ln2) = 2 − 2·ln2 − 1 = 1−2ln2.
3. נציב קירוב ln2≈0.693: h(ln2) ≈ 1−1.386 = −0.386, ערך שלילי.
4. מכיוון שערך המינימום הגלובלי של h שלילי, קיימים ערכי x שבהם h(x)<0, כלומר eˣ<2x+1 — המודל הליניארי דווקא עולה על המעריכי שם. זה מפריך את טענת היזם ("תמיד eˣ>2x+1").

תשובה: x=ln2 מינימום גלובלי; h(ln2)=1−2ln2 (שלילי, ≈−0.386) — כלומר h שלילית שם, ולכן טענת היזם שגויה שם.

1. h(1) = e¹−2·1−1 = e−2−1 = e−3. מכיוון ש-e≈2.718<3, מתקיים h(1)<0.
2. h(2) = e²−2·2−1 = e²−4−1 = e²−5. מכיוון ש-e²≈7.389>5, מתקיים h(2)>0.

תשובה: h(1)=e−3<0; h(2)=e²−5>0.

1. ידוע כי h(0)=0 בדיוק (שוויון, סעיף א'), h קמורה עם מינימום שלילי ב-x=ln2≈0.693 (סעיף ג'), h(1)<0 (סעיף ד'), ו-h(2)>0 (סעיף ד').
2. מכיוון ש-h רציפה, קמורה, ומחליפה סימן בין x=1 (שלילי) ל-x=2 (חיובי), קיים שורש נוסף r כלשהו בקטע (1,2) שבו h(r)=0 (מלבד השורש הידוע x=0).
3. מכיוון שפונקציה קמורה עם מינימום שלילי חוצה את האפס בדיוק בשתי נקודות (השורשים x=0 ו-x=r), המבנה המלא הוא: h(x)>0 (כלומר eˣ>2x+1, טענת היזם נכונה) עבור x<0 ועבור x>r; ואילו h(x)<0 (המודל הליניארי עולה על המעריכי, הטענה שגויה) עבור 0<x<r; ובדיוק ב-x=0 וב-x=r יש שוויון.
4. לכן טענת היזם ש"המודל המעריכי תמיד עולה על הליניארי" שגויה: יש תחום ממשי (0<x<r, כאשר r נמצא בין 1 ל-2) שבו דווקא המודל הליניארי גדול או שווה למודל המעריכי.

תשובה: הטענה נכונה עבור x<0 ועבור x גדול מספיק (מעל ערך שבין 1 ל-2); שגויה (או שוויון) בתחום שבין x=0 לאותו ערך.