מדד מנורמל — פונקציה אי-זוגית · מתכונת 35472

1. הביטויים eˣ−1 ו-eˣ+1 מוגדרים לכל x ממשי.
2. מכיוון ש-eˣ>0 לכל x, מתקיים eˣ+1>0+1=1>0 לכל x — המכנה לעולם אינו מתאפס, ולכן f מוגדרת לכל x ממשי.

תשובה: כל הממשיים, x∈ℝ.

1. נציב −x בפונקציה: f(−x) = (e⁻ˣ−1)/(e⁻ˣ+1).
2. נכפול מונה ומכנה ב-eˣ (חיובי, אינו משנה את הביטוי): f(−x) = (e⁻ˣ·eˣ−eˣ)/(e⁻ˣ·eˣ+eˣ) = (1−eˣ)/(1+eˣ).
3. נוציא (−1) מהמונה: (1−eˣ)/(1+eˣ) = −(eˣ−1)/(eˣ+1) = −f(x).
4. לכן f(−x)=−f(x) לכל x בתחום ההגדרה, ומכאן ש-f אי-זוגית.

תשובה: f(−x)=−f(x) לכל x — f אי-זוגית.

1. כאשר x→∞: נחלק מונה ומכנה ב-eˣ: f(x) = (1−e⁻ˣ)/(1+e⁻ˣ). מכיוון ש-e⁻ˣ→0, מתקבל f(x)→(1−0)/(1+0)=1. אסימפטוטה: y=1.
2. כאשר x→−∞: eˣ→0, ולכן f(x)→(0−1)/(0+1)=−1. אסימפטוטה: y=−1.

תשובה: y=1 (כאשר x→∞) ו-y=−1 (כאשר x→−∞).

1. כלל המנה: (u/v)' = (u'v−uv')/v², כאשר u=eˣ−1, u'=eˣ, v=eˣ+1, v'=eˣ.
2. f'(x) = [eˣ·(eˣ+1) − (eˣ−1)·eˣ] / (eˣ+1)² = eˣ·[(eˣ+1)−(eˣ−1)] / (eˣ+1)² = eˣ·2 / (eˣ+1)² = 2eˣ/(eˣ+1)².
3. המונה 2eˣ חיובי לכל x, והמכנה (eˣ+1)² חיובי לכל x (ריבוע של ביטוי שאינו מתאפס), ולכן f'(x)>0 לכל x — f עולה ממש בכל תחום ההגדרה.

תשובה: f'(x) = 2eˣ/(eˣ+1)²; f'(x)>0 לכל x, ולכן f עולה ממש תמיד.

1. מסעיף ד', f רציפה ועולה ממש על פני כל הישר הממשי, ולכן ערכיה "סורקים" קטע רציף אחד ללא קפיצות וללא חזרה על ערכים.
2. מסעיף ג', כאשר x→−∞ מתקרב f(x) ל−1 (אך לעולם אינו מגיע אליו, שכן אסימפטוטה היא גבול שאינו מתקבל), וכאשר x→∞ מתקרב f(x) ל-1 (גם הוא אינו מתקבל).
3. מכיוון ש-f עולה ממש בין שני גבולות אלה, ללא הפסקה, תחום הערכים של f הוא בדיוק הקטע הפתוח (−1,1) — כל ערך בקטע זה מתקבל בדיוק פעם אחת, ואילו הערכים ±1 עצמם אינם מתקבלים לעולם עבור שום x סופי.

תשובה: תחום הערכים הוא הקטע הפתוח (−1,1); ±1 אינם מתקבלים כי הם אסימפטוטות אופקיות בלבד.